10.841471...0.10.998334...0.010.999983... Хоча функція в нулі не визначена, проте коли наближається до нуля, її значення стає як завгодно близьким до 1. Іншими словами, границя цієї функції в нулі дорівнює 1.
Границя функції в точці, граничній для області визначення функції, називається таке число, до якого значення даної функції прямує при спрямуванні її аргументу до цієї точки. Одне з основоположних понять математичного аналізу.
Історія Незважаючи на те, що математичний аналіз розвивався у 17-му та 18-му століттях, сучасна ідея границі функції походить від Бернарда Больцано, який у 1817 році ввів основи техніки епсилон-дельта для визначення неперервних функцій. Проте його роботи за життя не були відомими.
У своїй книзі Cours d'analyse 1821 року Оґюстен-Луї Коші обмірковував змінні величини, нескінченно малі та границі, визначив неперервність , сказавши, що нескінченно мала зміна x обов’язково призводить до нескінченно малої зміни у, при цьому використовував строге визначення епсилон-дельта в доведеннях., наявна в Who Gave You the Epsilon? , сс. 5–13. Також доступна на сторінці http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf У 1861 році Вейєрштрас вперше ввів визначення границі в позначеннях епсилон-дельта у тому вигляді, який зазвичай записують сьогодні. Він також ввів позначення та .
Сучасне позначення з розміщенням стрілки знизу ввів Ґодфрі Гарольд Гарді у своїй книзі «Курс чистої математики» в 1908 році.
Означення Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.
Нехай , причому , і — гранична точка множини . Надалі будемо розглядати функції . Через позначимо -окіл точки :
Означення за Коші Число називається границею функції в точці , якщо для довільного дійсного числа існує дійсне таке, що для будь-якого дійсного з виконується нерівність .
Позначення:
або при .
Під і можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. Фактично, Коші використовував як позначення для «похибки» у деяких своїх роботах, а у своєму визначенні неперервності він використовував нескінченно малу , а не чи . У цих позначеннях похибка обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані до граничної точки.
Означення за Гейне Число називається границею функції в точці , якщо для довільної послідовності , при , що збігається до числа , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .
Односторонні границі
Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя).
Означення правосторонньої границі
Нехай і — гранична точка множини такі, що . Число називається правосторонньою границею функції в точці , якщо для довільного дійсного числа існує дійсне таке, що для будь-якого дійсного з виконується нерівність .
Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:
Означення лівосторонньої границі
Нехай і — гранична точка множини такі, що . Число називається лівосторонньою границею функції в точці , якщо для довільного дійсного числа існує дійсне таке, що для будь-якого дійсного з виконується нерівність .
Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:
Використовуються також наступні скорочення: і для правої границі; і для лівої границі.
Якщо обидві односторонні границі існують в точці та рівні в ній, то можна показати, що . Якщо односторонні границі існують в точці , але не рівні, то границі в точці не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.
Приклади Відсутність односторонніх границь
Функція
не має границі в точці (лівостороння границя не існує через коливальний характер функції синуса, а правостороння границя не існує через асимптотичну поведінку оберненої функції), але має границю в кожній іншій точці.
Функція Діріхле
не має границі в жодній точці дійсної прямої.
Нерівність односторонніх границь Функція
має границю для кожної ненульової точки x (дорівнює 1 для від’ємного x і дорівнює 2 для додатного x). Однак, границі при x = 0 не існує (лівостороння границя дорівнює 1, а правостороння — 2).
Існування границі лише в одній точці Обидві функції
та
мають границю в точці x = 0 і вона дорівнює 0. В інших точка границі не існує.
Існування границі в зліченній кількості точок Функція
має границю в будь-якій точці , де .
Границі, пов’язані з нескінченністю
Границя в нескінченності
Границя функції в нескінченності визначає поведінку значень функції, коли модуль її аргумента стає нескінченно великим. Існують різні означення таких границь, але вони рівгосильні між собою.
Границя в нескінченності за Коші Нехай , — необмежена зверху множина, . Число називається границею функції при , якщо для довільного дійсного числа існує дійсне таке, що для будь-якого дійсного з виконується нерівність .
Позначення: або при .
Нехай , — необмежена знизу множина, . Число називається границею функції при , якщо для довільного дійсного числа існує дійсне таке, що для будь-якого дійсного з виконується нерівність .
Позначення: або при .
Границя в нескінченності за Гейне Нехай , — необмежена зверху множина, . Число називається границею функції при , якщо для довільної послідовності , яка прямує до при , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .
Нехай , — необмежена знизу множина, . Число називається границею функції при , якщо для довільної послідовності , яка прямує до при , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .
Нескінченні границі Для функції, значення якої зростають або спадають безмежно, тобто функція розходиться, звичайна границя не існує. У цьому випадку можна ввести границі з нескінченними значеннями.
Нехай , — гранична точка множини і .
Кажуть, що прямує до плюс нескінченності в точці , якщо для довільного дійсного числа існує дійсне таке, що для будь-якого дійсного з виконується нерівність .
Позначення: або при .
Кажуть, що прямує до мінус нескінченності в точці , якщо для довільного дійсного числа існує дійсне таке, що для будь-якого дійсного з виконується нерівність .
Позначення: або при .
Можна поєднувати ідеї декількох означень границь в точці за Коші природним чином, щоб отримати визначення для різних комбінацій, наприклад
Так само можна поєднувати означення за Гейне.
Приклад:
Властивості Нехай , — гранична точка , задані функції та існують границі , . Тоді при таких умовах границя функції в точці має наступні властивості: Якщо і , то .
Якщо і , то
Якщо , то .
Теорема про арифметичні дії
Якщо додатково , то якщо права частина можлива.
Теорема про арифметичні дії також дійсна для односторонніх границь, у тому числі коли границя дорівнює або . У кожній рівності вище, коли одна з границь праворуч дорівнює або , границя ліворуч іноді все ще може визначатися наступними правилами:
q + ∞ = ∞ якщо q ≠ −∞ q × ∞ = ∞ якщо q > 0 q × ∞ = −∞ якщо q < 0 q / ∞ = 0 якщо q ≠ ∞ і q ≠ −∞ ∞q = 0 якщо q < 0 ∞q = ∞ якщо q > 0 q∞ = 0 якщо 0 < q < 1 q∞ = ∞ якщо q > 1 q−∞ = ∞ якщо 0 < q < 1 q−∞ = 0 якщо q > 1
Границя композиції функцій У загальному від того, що та , не випливає, що , де і , b — гранична точка множини A, a — гранична точка множини B. Це «правило ланцюга» діє, якщо виконується одна з наступних додаткових умов: , тобто f неперервна в b; , тобто g не приймає значення b поблизу a.
Для прикладу розглянемо таку функцію, яка порушує обидві умови:
Оскільки точка 0 є розривом, який можна усунути, то
для всіх .
Таким чином, наївне «правило ланцюга» передбачає, що границя дорівнює 0. Однак
і тому для всіх .
Правило Лопіталя
Це правило використовує похідні, щоб розкрити невизначеності вигляду або , і застосовується лише до таких випадків. Нехай і , визначені на відкритому інтервалі , що містить граничну точку c, які задовольняють наступні умови:
або , і диференційовні на , для всіх , існує. Тоді
.
Наприклад,
Основні приклади границь функцій в точці
Раціональні функції Для цілого невід’ємного числа та констант і
.
Це можна довести, поділивши як чисельник, так і знаменник на . Якщо чисельник є поліномом більшого степеня ніж знаменник, то у цьому випадку раціональна функція прямує до . Якщо знаменник більшого степеня ніж чисельник, то границя дорівнює 0.
Тригонометричні функції — перша чудова границя
Експоненціальні функції — друга чудова границя
Логарифмічні функції
Узагальнення на метричні простори Нехай , — метричні простори, , — гранична точка множини . Елемент називається границею функції в точці , якщо
Також можна дати інше еквіваленте означення границі в точці для метричних просторів, аналогічне до означення за Гейне, розглянутого вище.
Елемент називається границею функції в точці , для довільної послідовності , при , що збігається до елемента , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею один і той самий елемент .
Найбільш важливими є наступні випадки: , — дійсна функція, визначена на множині дійсних чисел; , — дійсна функція n-змінних; , — векторна функція n-змінних; — метричний простір, , — дійсна функція, яка задана на множині метричного простору.
Узагальнення на топологічні простори Нехай — топологічний простір, — гаусдорфів топологічний простір, , — гранична точка множини . Елемент називається границею функції в точці , якщо
Означення, аналогічне до Гейне вже буде частковим випадком, визначиного вище, а не рівносильним йому.
Вимога, щоб простір Y був гаусдорфовим, може бути послаблена до припущення, що Y є просто топологічним простором, але тоді границя функції може не бути єдиною. Тому вже не можна буде говорити про границю функції в точці, а скоріше про множину границь у точці.
Див. також Границя послідовності Верхня і нижня границі Повторна границя Узагальнена послідовність Стискна теорема — обчислення границі шляхом обмеження функції між двома іншими функціями Нотація Ландау — нотації, що описують асимптотичну поведінку функцій Асимптотична рівність
Джерела
Виноски