Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини — це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини.
Визначення
Нехай задано топологічний простір , де — довільна множина, а — означена на топологія. Нехай також задано підмножину . Точка називається граничною точкою множини , якщо для будь-якої відкритої множини , такої що виконується .
У разі якщо , точка називається граничною точкою множини A, якщо
Для послідовності точок в топологічному просторі граниною точкою буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок послідовності.
Пов'язані поняття Сукупність всіх граничних точок множини A називається її похідною множиною і позначається . Об'єднання самої множини A з її похідною множиною A' називається замиканням множини і позначається або .
Властивості У метричних просторах, якщо x — гранична точка A, то існує послідовність , що цілком лежить в A і така, що при . Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються простори Фреше — Урисона Не всяка точка множини A мусить бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не конче їй належить. Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина евклідового простору має хочаб одну граничну точку. Границя послідовності точок в топологічному просторі завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір задовільняє першу аксіому зліченності.
Джерела