Свя́зное двоето́чие (двоеточие Александрова) — конечное топологическое пространство из двух точек определённого типа; наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.
Определяется как топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов («открыто») и («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств: — пустое множество; — множество из одного элемента «открыто»; — всё пространство.
Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только , а замкнутым — только . Мы видим, что точка не имеет окрестностей, кроме всего пространства; следовательно, пространство нарушает аксиому T1, в частности, не является хаусдорфовым. Также мы видим, что точка не является замкнутым подмножеством.
Отображение из топологического пространства в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз точки открыт в (или, что то же самое, прообраз точки замкнут в ). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия. Связное двоеточие является связным и также линейно связным пространством.
Александровский куб — степень связного двоеточия — является универсальным пространством для -пространств веса при , то есть любое -пространство веса гомеоморфно подпространству .
Примечания
Литература
Категория:Общая топология Категория:Топологические пространства