Tożsamość czterech kwadratów Eulera – tożsamość algebraiczna zachodząca dla dowolnych ośmiu liczb rzeczywistych, z której wynika, że iloczyn dwóch sum czterech kwadratów również jest sumą kwadratów. Dokładniej:
Tożsamość podał Leonhard Euler w 1748 w liście do Christiana Goldbacha. Odgrywa ona kluczową rolę w dowodzie twierdzenia Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych.
Jeśli i są liczbami rzeczywistymi, tożsamość wyraża się w inny sposób: moduł iloczynu dwóch kwaternionów równy jest iloczynowi ich modułów; podobną równość dla liczb zespolonych ustala tożsamość Brahmagupty.
Tożsamość jest prawdziwa dla z dowolnego pierścienia przemiennego, gdyż może być udowodniona przy użyciu elementarnej algebry (poprzez rozpisanie nawiasów i zamianę kolejności czynników w iloczynach).
Dla liczb rzeczywistych można ją wywnioskować z następującej tożsamości dla liczb zespolonych (gdyż kwadrat modułu to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej):
której dowód polega na zastosowaniu tożsamości do wszystkich wyrazów po lewej, zaś tożsamości do wyrazów po prawej.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-02-02]. List CXV Eulera do Goldbacha
Kategoria:Teoria liczb C