mały|Standardowy symbol zbioru liczb wymiernych: ℚ mały|Nieskończona macierz zawierająca wszystkie liczby wymierne. To dowód, że jest to zbiór równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych
Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem od niemieckiego słowa Quotient – iloraz lub stosunek [dostęp 2023-11-23].. Symbolicznie:
Liczby wymierne są przez to uogólnieniem liczb całkowitych umożliwiającym dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera; na liczbach wymiernych można wykonywać wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne. Jest też kilka innych podstawowych własności tego zbioru: porządek liczb wymiernych jest gęsty – między każdą parą liczb wymiernych istnieje inna liczba tego typu; liczby wymierne można zapisywać ułamkami dziesiętnymi – są one skończone lub okresowe; pierwiastek z liczby wymiernej nie musi być wymierny; przykładowo pierwiastek kwadratowy z dwóch jest niewymierny:
Podstawowym uogólnieniem liczb wymiernych są liczby rzeczywiste, których ułamki dziesiętne mogą być jednocześnie nieskończone i nieokresowe. Więcej informacji o liczbach wymiernych dostarcza matematyka wyższa: konstruuje je za pomocą liczb całkowitych; opisuje dalsze własności, opisane niżej; wprowadza inne uogólnienia, zwane rozszerzeniami ciała liczb wymiernych. Przykłady to pierwiastniki liczb wymiernych i inne liczby algebraiczne; nie muszą one należeć do liczb rzeczywistych, podobnie jak liczby p-adyczne.
Konstrukcja Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Niech w zbiorze par liczb całkowitych których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania
Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka bądź jeśli to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą
Własności W teorii mnogości mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą zbiór przeliczalny – są równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych, co oznacza się . W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą grupę przemienną z działaniem dodawania. Przy dołączeniu mnożenia liczby wymierne – w odróżnieniu od całkowitych – tworzą ciało i definiuje się nimi ciała liczbowe. Porządek liczb wymiernych nie jest ciągły. Każdą liczbę wymierną można zapisać jako skończony ułamek łańcuchowy (ciągły ułamek arytmetyczny) i jest to cecha, która je wyróżnia wśród liczb rzeczywistych Rational number , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-11-22].; Z perspektywy topologicznej liczby wymierne – jako podzbiór osi rzeczywistej – są gęste w
Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych istnieje liczba wymierna Dowód Gdyby były wymierne, to oczywiście spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród jest niewymierne. Jeśli to można przyjąć Jeśli to ponieważ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać takie, że czyli Podobnie gdy wskazujemy i wówczas Niech więc i niech np. jest niewymierne.Dla pewnego zachodzi stąd Z drugiej strony istnieje takie, że niech będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że Rzeczywiście, gdyby to byłoby Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc wbrew temu, że jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych o własności Ostatecznie łącznie z warunkiem daje
czyli
Jeśli jest niewymierne i wymierne, to wystarczy znaleźć takie, że i znaleźć jak poprzednio spełniające Wówczas i Jeśli to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie spełniające i wówczas
Przypisy
Linki zewnętrzne Tomasz Miller, Liczby całkowite i wymierne | Zacznijmy od zera #1, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński (CKBI UJ), kanał „Copernicus” na YouTube, 5 stycznia 2021 [dostęp 2023-11-26].
W Kategoria:Rodzaje ciał