Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące zarazem liczbami wymiernymi, czyli niedające się zapisać w postaci ilorazu , gdzie to liczby całkowite, przy czym .
Zbiór liczb niewymiernych jest równy różnicy zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych, tj. .
Przykłady liczb niewymiernych
Przykłady liczb niewymiernych: pierwiastek kwadratowy z dwóch (), pierwiastki kwadratowe z liczb naturalnych, które nie są kwadratami innych liczb naturalnych, np. , pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby pierwszej .
Dowód (dowód nie wprost). Wystarczy pokazać, że pierwiastek nie może być liczbą wymierną — a zatem (por. definicja liczby wymiernej) nie mogą istnieć takie liczby całkowite oraz , które byłyby wobec siebie względnie pierwsze i takie, że . Załóżmy najpierw, że jest liczbą wymierną i daje się zapisać w postaci gdzie to liczby całkowite. Podnosząc obie strony tej równości do kwadratu otrzymamy , a stąd , co oznacza (por. definicja relacji podzielności), że dzieli , a to z kolei oznacza, że – jako liczba pierwsza – musi także dzielić samo . Zapiszmy wobec tego, że jest: , dla jakiegoś .
Wstawiając to z powrotem do równości , dostajemy: , czyli – przechodnio – dostajemy równość: . Ale to oznacza, że dzieli także , a zatem – skoro jest dowolną liczbą pierwszą – musi dzielić także . To z kolei przeczy założeniu, że liczby oraz są wobec siebie względnie pierwsze.
Uzyskaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że nie może być liczbą wymierną, a zatem liczba ta musi być niewymierna. Tego należało dowieść. ∎ liczba — jej niewymierności – jako pierwszy – dowiódł Johann Heinrich Lambert w roku 1767; liczba — jej niewymierności – jako pierwszy – dowiódł Leonhard Euler w roku 1737; stała Gelfonda-Schneidera ;
stała Apéry’ego .
Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej
Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe, a rozwinięcie liczby wymiernej musi być albo skończone albo nieskończone okresowe. Korzystając z tej własności można podać wiele przykładów liczb, które są liczbami niewymiernymi. Np.., przy czym zakładamy, że w tym rozwinięciu dziesiętnym na pewno brak jest okresu (por. ułamek dziesiętny okresowy). Liczby z rozwinięciem dziesiętnym (od pewnego miejsca) okresowym zawsze są liczbami wymiernymi – poniżej została przedstawiona przykładowa taka liczba (z okresem oznaczonym poniżej przez ):
Dzieje badań Najstarsze opisy niewymierności pochodzą ze starożytnej Grecji, konkretniej od Pitagorejczyków, którzy wykazali niewymierność liczby [dostęp 2023-11-23].. Zauważyli oni, że przekątna kwadratu o boku 1, możliwa do obliczenia twierdzeniem Pitagorasa, jest niewspółmierna z bokiem. Potem udowodniono niewymierność innych stałych: staładowód niewymiernościdataautore1737Leonhard Eulerπ1760Johann Heinrich Lambert1979
Własności Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem gęstym, a także zbiorem nieprzeliczalnym Irrational number , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-11-23].. Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może być wymierna lub nie. Inaczej, istnieją takie liczby niewymierne i że liczba jest wymierna. Przykłady to:
Uwaga. Zaznaczmy jednocześnie silnie, że dla liczby wymiernej, jej pierwiastek wymierny, wcale nie musi także być wymierny. Wystarczą przykłady: czy też: .
O własnościach niektórych potęg z niewymiernymi wykładnikami mówi twierdzenie Gelfonda-Schneidera. Liczba niewymierna do potęgi wymiernej może być wymierna lub nie: . Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne. Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych dając w efekcie przestrzeń zupełną. Jako podprzestrzeń linii prostej zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji .
Zobacz też
usuwanie niewymierności z mianownika dowód niekonstruktywny twierdzenie Gelfonda-Schneidera niewspółmierność interteoretyczna
Przypisy
Linki zewnętrzne Algebra – liczby wymierne i niewymierne, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27]. Ganesh Pai, Making sense of irrational numbers , kanał TED-Ed na YouTube, 23 maja 2016 [dostęp 2024-08-22]. Can We Combine pi & e to Make a Rational Number?, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 13 kwietnia 2017 [dostęp 2024-08-29].
Kategoria:Liczby rzeczywiste