mały|240x240px|Hierarchia przestrzeni (od szczególnych do bardziej ogólnych): unitarna (niebieska), unormowana (zielona), metryczna (żółta), topologiczna (czerwona). Przestrzeń topologiczna – zbiór , w którym została wyróżniona pewna rodzina jego podzbiorów spełniająca trzy warunki, tzw. aksjomaty topologii. Rodzinę nazywa się topologią w zbiorze a elementy topologii nazywa się zbiorami otwartymi. Elementy przestrzeni nazywa się również jej punktami. Dopełnienia zbiorów otwartych nazywane są zbiorami domkniętymi. Dla niepustego zbioru można utworzyć wiele różnych topologii.
W niektórych przestrzeniach topologicznych można wprowadzić metrykę. Jednak nie wszystkie przestrzenie topologiczne są metryzowalne, dlatego pojęcie przestrzeni topologicznej jest ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej. Metryka pozwala wyrazić dokładnie liczbową odległość poszczególnych punktów zbioru od siebie. Brak metryki zastępuje topologia, która pozwala określić przynajmniej relacje bliskości punktów w zbiorze; np. umożliwia określenie, czy dany punkt należy do zbioru , czy należy do jego wnętrza, domknięcia, brzegu, czy jest punktem skupienia, itp.
Przestrzeń topologiczna jest najbardziej ogólnym rodzajem przestrzeni matematycznej, który umożliwia definiowanie pojęć granicy funkcji, ciągłości funkcji i spójności przestrzeni. Do typowych przykładów przestrzeni topologicznych należą przestrzenie euklidesowe, zwarte, spójne, metryczne, ośrodkowe, rozmaitości, przestrzenie Banacha, Hilberta, Hausdorffa. Przestrzenie topologiczne znajdują zastosowanie w wielu działach współczesnej matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego). Badaniem przestrzeni topologicznych zajmuje się topologia ogólna.
Motywacja Pojęcie zbiorów otwartych pełni istotną rolę w analizie matematycznej. W zbiorze liczb rzeczywistych dowolne zbiory otwarte tworzy się poprzez sumowanie przedziałów otwartych . Zbiory otwarte mają szereg ważnych własności, m.in. cała prosta jest zbiorem otwartym, część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, suma nawet nieprzeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, zbiór pusty jest otwarty (gdyż jest sumą rodziny zbiorów otwartych o indeksach w zbiorze pustym).
Powyższe własności zbiorów otwartych stają się słuszne w wielowymiarowych przestrzeniach rzeczywistych oraz w dowolnych przestrzeniach metrycznych . Definiuje się wtedy kule otwarte o środku w punkcie i promieniu jako zbiór punktów odległych od punktu o mniej niż . Następnie definiuje się zbiory otwarte jako sumy mnogościowe nawet nieprzeliczalne wielu takich kul.
Własności zbiorów otwartych z przestrzeni metrycznych stały się podstawą do sformułowania aksjomatów topologii czyli rodziny zbiorów otwartych, bez konieczności odwoływania się do pojęcia odległości (metryki). W konsekwencji w przestrzeniach topologicznych, niekoniecznie metryzowalnych, można wprowadzić np. definicję ciągłości funkcji poprzez odwołane się wyłącznie do pojęcia zbiorów otwartych: funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz dowolnego otwartego zbioru jest otwarty w .
Aksjomaty topologii (rodziny zbiorów otwartych) Definicja (przestrzeni topologicznej, topologii).
Niech dany będzie zbiór i niech będzie rodziną podzbiorów zawartych w spełniającą następujące warunki:
(a1) zbiór oraz zbiór pusty należą do
(a2) część wspólna dowolnych dwóch zbiorów należących do także należy do
(a3) suma dowolnej mnogości zbiorów (skończonej, przeliczalnej lub nawet nieprzeliczalnej) należących do także należy do , tj. jeżeli jest dowolną rodziną zbiorów zawartych w , to suma zbiorów tej rodziny też należy do :
Zbiór nazywa się przestrzenią topologiczną. Rodzinę nazywa się topologią w zbiorze lub rodziną zbiorów otwartych. Elementy rodziny nazywa się zbiorami otwartymi.
Uwaga 1: Zbiór można nazwać przestrzenią topologiczną tylko wtedy, gdy została zdefiniowana rodzina jego podzbiorów . Dlatego niektórzy autorzy przestrzenią topologiczną nazywają parę uporządkowaną ( ), składającą się ze zbioru oraz określonej na nim topologii . W zależności od kontekstu określenie „przestrzeń topologiczna” może odnosić się do samego zbioru wyposażonego w topologię albo do pary (,).
Uwaga 2:
A) Warunek (a2) definiujący rodzinę implikuje, że do należą dowolne skończone iloczyny zbiorów należących do topologii. Nie można rozszerzyć tego warunku na nieskończone iloczyny, gdyż iloczyny takie mogą dać zbiory np. jednostronnie lub dwustronnie domknięte:
B) Z drugiej strony ograniczenie warunku (a3) na skończone operacje uniemożliwiłoby włączenie do topologii zbiorów, które są sumami nieskończonej liczby zbiorów otwartych, np. przeliczalnej sumy rozłącznych przedziałów otwartych, jakim jest dopełnienie zbioru Cantora lub przeliczalnej sumy rozłącznych przedziałów otwartych zbiegających do zera
C) To razem uzasadnia „asymetrię” aksjomatów topologii.
Przykłady Omówiono tu przykłady topologii, które pokazuje grafika obokthumb|Cztery przykłady i dwa kontrprzykłady topologii utworzonych na zbiorze X o trzech elementach {1,2,3}. Małe kółeczka oznaczają zbiór pusty. U dołu pokazano zbiory podzbiorów, które nie są topologiami: z lewej brakuje sumy podzbiorów {2} i {3} [tj. {2,3}], z prawej zaś brakuje części wspólnej podzbiorów {1,2} i {2,3} [tj. {2}]. |240x240pxPrzykład 1
– dowolny zbiór; rodzina zbiorów jest topologią w .
Dowód:
Sprawdzamy, czy są spełnione aksjomaty topologii.
(a1) jest spełniony, gdyż
(a2) jest spełniony, gdyż ,
(a3) jest spełniony, gdyż .
Uwaga: to najuboższa topologia, jaką można zdefiniować w danym zbiorze . Topologię tą nazywa się topologią antydyskretną lub trywialną.
Przykład 2
rodzina zbiorów jest topologią w .
Dowód:
(a1) jest spełniony, gdyż
(a2) jest spełniony, gdyż
(a3) jest spełniony, gdyż
Uwaga: Zbiór nazywa się topologią punktu wyróżnionego. W tym przypadku punktem wyróżnionym jest singleton
Przykład 3
; rodzina zbiorów jest topologią w .
Dowód:
(a1) jest spełniony, gdyż oraz .
(a2) części wspólne wszystkich par zbiorów z mają należeć do .
Część wspólna i dowolnego zbioru z daje ten zbiór, a więc te części wspólne należą do . Część wspólna i dowolnego zbioru z daje , a więc te części wspólne należą do . Pozostały do sprawdzenia części wspólne par zbiorów:
(a3) suma dowolnej liczby zbiorów z ma należeć do .
Ponieważ każda suma zawierająca daje w wyniku , a dodanie nie zmienia wyniku, wystarczy sprawdzić sumy podrodzin złożonych z pozostałych elementów, tj. z :
Wszystkie uzyskane sumy należą do rodziny , co kończy dowód.
Przykład 4
zbiór jest topologią w .
Dowód: Analogicznie jak wyżej sprawdzamy, że są spełnione aksjomaty topologii.
Przykład 5
zbiór nie jest topologią w , gdyż nie jest spełniony aksjomat (a3): w brakuje sumy
Przykład 6
zbiór nie jest topologią w , gdyż nie jest spełniony aksjomat (a2): w brakuje części wspólnej
Zbiory domknięte i otwarto-domknięte Definicja. Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywa się zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem otwartym.
Definicja. Zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte, nazywa się zbiorami otwarto-domkniętymi.
Twierdzenie. Zbiór oraz zbiór pusty są zbiorami domknięto-otwartymi.
Dowód: oraz , więc domkniętość zbiorów jest konsekwencją aksjomatu (a1) i definicji zbioru domkniętego, cnd.
Twierdzenie. Suma skończona zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Twierdzenie. Część wspólna dowolnej mnogości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Dowód: Powyższe dwa twierdzenia wynikają z aksjomatów (a2) i (a3) oraz praw de Morgana, na mocy których dla dowolnej rodziny podzbiorów przestrzeni zachodzą związki
1) dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień
2) dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień
gdzie – zbiór indeksów zbiorów może być skończony, przeliczalny (np. zbiór liczb naturalnych ) lub nawet nieprzeliczalny.
Definicje wnętrza, domknięcia, brzegu. Własności Niech dana będzie przestrzeń topologiczna Definicja. Wnętrzem Oznaczenia pochodzą od angielskich słów interior („wnętrze”), closure („domknięcie”) oraz border, frontier („granica”, tu: „brzeg”) bądź ich francuskich odpowiedników. zbioru nazywa się sumę (nawet nieprzeliczalną) wszystkich zbiorów otwartych zawartych , tzn.
Uwaga: Gdyby topologia była ograniczona do sum skończonych zbiorów otwartych, to wnętrze każdego zbioru byłoby w pełni określone przez sumy skończone zbiorów otwartych.
Twierdzenie. Ponieważ suma zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, to z definicji wynika, że stanowi największy zbiór otwarty zawarty w .
Definicja. Domknięciem zbioru nazywa się część wspólną wszystkich zbiorów domkniętych zawierających zbiór , tzn.
Twierdzenie. Domknięcie zbioru jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbiór .
Dowód: Własność powyższa wynika z definicji domknięcia oraz z własności, że iloczyn zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym, cnd.
Definicja. Brzegiem (oznaczanym też ) zbioru nazywa się różnicę domknięcia i wnętrza tego zbioru, tj.
Twierdzenie. Brzeg zbioru jest zbiorem domkniętym.
Dowód: Z definicji oraz z prawa zbiorów wynika, że , więc jako część wspólna zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym, cnd.
Twierdzenie. Operacje tworzenia wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru są idempotentne:
, tj. wnętrze wnętrza zbioru jest wnętrzem tego zbioru tj. domknięcie domknięcia zbioru jest domknięciem tego zbioru tj. brzeg brzegu zbioru jest brzegiem tego zbioru
Twierdzenie. zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy swojemu wnętrzu, tj. zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy swojemu domknięciu, tj. Twierdzenie. Niech oznacza dopełnienie zbioru (względem ), tj. . Operacje tworzenia wnętrza i domknięcia zbioru są do siebie dualne w następującym sensie: dopełnienie domknięcia jest wnętrzem dopełnienia,
dopełnienie wnętrza jest domknięciem dopełnienia,
Uwaga nt. terminologii: zbiory otwarte i domknięte a przedziały otwarte i domknięte Pojęcia „zbioru otwartego” i „zbioru domkniętego” nawiązują do pojęć przedziału otwartego i domkniętego na prostej rzeczywistej . W topologii standardowej w przedziały otwarte są zbiorami otwartymi, a przedziały domknięte są zbiorami domkniętymi. Jednak nie jest tak w każdej topologii, jaką można zdefiniować w . Definicja topologii jest abstrakcyjna – odrywa pojęcie „otwartości” od konkretnego przypadku przedziałów w .
Np. w topologii dyskretnej w zakłada się, że zbiorami otwartymi są wszystkie podzbiory (topologia jest zbiorem potęgowym ). W topologii tej zbiorami otwartymi są przedziały otwarte, przedziały domknięte, np. , a także pojedyncze punkty, zbiór Cantora, zbiór Vitaliego itd. Rodzina spełnia bowiem aksjomaty topologii, gdyż:
suma dowolnej rodziny podzbiorów jest podzbiorem , a więc należy do przecięcie skończonej rodziny podzbiorów jest podzbiorem , a więc należy do
Co więcej, w topologii dyskretnej każdy podzbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty. Istotnie, jeżeli , to jest otwarty. Ale jego dopełnienie również jest zbiorem otwartym, bo jest podzbiorem . Zatem jest też domknięty, bo jest dopełnieniem zbioru otwartego .
Reasumując:
"Otwartość zbioru” jest własnością zależną od wybranej topologii; „otwarty” nie oznacza „mający postać przedziału otwartego”. Analogiczna zasada dotyczy pojęcia zbioru domkniętego.
Przykłady topologii (1) W dowolnym zbiorze można wprowadzić wiele różnych topologii, np.: topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru są otwarte, czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru