Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.
Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę zbiorów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).
Wprowadzone zostały przez Maurice’a FréchetaSur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74..
Definicja metryki Niech oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze nazywa się funkcjęKołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2012, s. 31.
która dla dowolnych elementów tego zbioru spełnia warunki: identyczność nierozróżnialnych
symetria
nierówność trójkąta
Gdy jest metryką w zbiorze to parę nazywa się przestrzenią metryczną, elementy zbioru nazywa się punktami, liczbę nazywa się odległością punktu od punktu
Uwaga 1. Niekiedy pomija się warunek nieujemności przyjmując zamiast
Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:
Uwaga 2. Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:
Dowód:
1) Przyjmując w powyższym warunku dostaniemy:
2) Zamieniając w powyższym warunku i oraz przyjmując dostaniemy:
3) Z powyższych dwóch nierówności wynika: c.n.d.
Metryki w przestrzeni liniowej W przestrzeni liniowej (np. euklidesowej, unormowanej, unitarnej) można wprowadzić różnie zdefiniowane metryki. W wyniku tego przestrzeń nabywa dodatkowej struktury – powstaje przestrzeń metryczna. W poniższych przykładach oraz oznaczają elementy przestrzeni
Metryka euklidesowa Metrykę euklidesową w przestrzeni definiuje się wzorem
tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:
W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do wartości bezwzględnej różnic współrzędnych punktów oraz
Metryka generowana przez normę Jeżeli jest przestrzenią unormowaną, to jako odległość (metrykę) punktów można przyjąć długość (normę) wektora, będącego różnicą wektorów tj. dla
Metryka ta jest uogólnieniem metryki euklidesowej. Np. metrykami są funkcje postaci
gdzie Metryka jest metryką euklidesową i oznacza się ją symbolem
Metrykę, którą definiuje się w oparciu o normę przestrzeni, nazywa się metryką generowaną przez normę.thumb|250px|Kula o środku i promieniu w metryce miejskiej na zbiorze Metryka miejska Gdy , metryka generowana przez normę nazywana jest metryką miejską lub metryką Manhattan w przestrzeni :
W szczególności na płaszczyźnie mamy:
co oznacza, że mierząc odległość między punktami i na płaszczyźnie możemy poruszać się od punktu do punktu tylko wzdłuż linii pionowych lub poziomych, na podobieństwo ruchu wzdłuż ulic w gęsto zabudowanym Manhattanie. Stąd wywodzi się nazwa metryki.
Kołem na płaszczyźnie o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór punktów, których odległości od punktu są nie większej od , tj.Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2012, s. 75.
Zaskakujące jest to, że w przypadku metryki miejskiej kołem jest widoczny na rysunku kwadrat; poruszając się bowiem tylko po liniach pionowych i poziomych od punktu do dowolnego punktu brzegu kwadratu przebędziemy takie same odległości, równe 1; punkty wewnętrzne kwadratu są w odległościach "miejskich" mniejszych niż 1. Metryka maksimum
Metryka maksimum zwana także metryką nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachową jest określona w przestrzeni za pomocą wzoru
– odległość ta jest de facto metryką generowaną przez normę maksimum zadaną wzorem
Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.
Łatwo sprawdzić, że w grze w szachy minimalna liczba ruchów, jakie musi wykonać król, aby przejść z pewnego pola na inne określona jest tą metryką (na rysunku obok pokazano możliwe ruchy króla z danego pola).
Metryka węzła kolejowego
Metryka węzła kolejowego zwana także metryką centrum, kolejową, metra paryskiego może być zdefiniowana na płaszczyźnie.
Niech będzie pewnym ustalonym punktem na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce wyznacza się następująco: Jeżeli punkty leżą na prostej przechodzącej przez punkt to
w przeciwnym wypadku
Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń w której ustalono pewien jej punkt
Metrykę powyższą można też zastosować do labiryntu, w którym wszystkie korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście od jednego punktu Przejście z jednego korytarza do drugiego wymaga dotarcia do skrzyżowania (centrum), aby możliwe było skręcenie w docelowy korytarz. Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.
Metryka rzeka thumb|200px|Odległość w metryce rzeka. Niech będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość punktów w metryce rzece wyznacza się następująco: Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej to
w przeciwnym wypadku
gdzie są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio na prostą
Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń w której ustalono pewną jej prostą
Metrykę tę można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, prostopadłych jej dopływów (por. rysunek).
Uogólniona metryka rzeka Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej rozmaitość liniową wymiaru a spełniającego Niech ponadto przy czym Jeżeli punkty leżą na pewnej rozmaitości wymiaru prostopadłej do rozmaitości to
w przeciwnym wypadku
gdzie są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio na prostą
Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego.
Metryka dyskretna Metrykę dyskretną zwaną także metryką zero-jedynkową wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze. Odległość punktów oraz zbioru określa wzór
Parę z metryką nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.
Porównanie metryk przytoczonych w przykładach Dla metryki euklidesowa, miejska (Manhattan), maksimum (szachowa) pokrywają się. Jeżeli to metryki maksimum (szachowa) i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).
Metryka w przestrzeniach pseudoriemannowskich Powierzchnia sfery, elipsoidy obrotowej, hiperboloidy obrotowej, czy też 4-wymiarowa czasoprzestrzeń opisywana w ogólnej teorii względności są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości riemannowskie i najogólniejsze – rozmaitości pseudoriemannowskie.
Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. w przestrzeni euklidesowej. Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.
Niech będzie rozmaitością wymiaru i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe
Odległość infinitezymalna Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora łączącego punkt z infinitezymalnie odległym punktem zadana jest wzorem
gdzie:
– współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia )
Odległość dowolnych punktów Dla punktów rozmaitości dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty czyli
gdzie: = infimum = kres dolny zbioru – długość krzywej
przy czym krzywa dana jest przez równań parametrycznych
oraz
Dla przestrzeni riemannowskich odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. Dla sfery będzie to łuk koła wielkiego, na którym leżą dwa punkty. A np. dla czasoprzestrzeni, która jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską, odległość może być zerowa, jeśli łączy dwa punkty – tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne – które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.
Topologia przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczną łatwo jest przekształcić w przestrzeń topologiczną, definiując następująco topologię:
a) bazę topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci
gdzie – dowolny elementem przestrzeni – promień kuli
b) podzbiór przestrzeni należy do topologii (czyli jest zbiorem otwartym), jeżeli jest sumą kul otwartych.
Taką topologię nazywa się topologią generowaną na zbiorze przez metrykę
Metryzowalna przestrzeń topologiczna Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią metryzowalną, jeśli da się w niej wprowadzić topologię generowaną przez jakąś metrykę. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są: twierdzenie Nagaty-Smirnowa, twierdzenie Binga.
Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych (analogicznie jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych).
Własności przestrzeni metrycznych Tw. 1 Każda przestrzeń metryczna jest parazwarta, doskonale normalna, Hausdorffa, spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.
Tw. 2 Poniższe niezmienniki topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych: drugi aksjomat przeliczalności, ośrodkowość, własność Lindelöfa, zwartość, ciągowa zwartość, przeliczalna zwartość.
Definicja odległości punktu od zbioru
Odległością (odstępem) punktu od zbioru nazywa się funkcję
Równoważność metryk Definicja Niech będą przestrzeniami metrycznymi.
Df. 1 Metryki nazywa się równoważnymi topologicznie, jeżeli granice dowolnych ciągów obliczone z użyciem tych metryk są identyczneKołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2012, s. 33..
Df. 2 Metryki nazywa się równoważnymi lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe takie że dla każdego spełniony jest warunek
Twierdzenia o metrykach równoważnych Tw. 1 Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru jest zbieżny w sensie metryki to jest także zbieżny w sensie metryki
Tw. 2 W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.
Tw. 3 Gdy dwie normy Banacha zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.
Metryka niezmiennicza na przesunięcia Metrykę nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej określone jest działanie dodawania i dla dowolnych punktów zachodzi warunek
Uogólnienia Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne układy aksjomatów: zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym
uzyskuje się tzw. pseudometrykę. rezygnując z aksjomatu symetrii uzyskuje się quasi-metrykę zastępując warunek trójkąta aksjomatem
uzyskuje się funkcję nazywaną ultrametryką.
Zobacz też Inne typy metryk: metryka euklidesowa metryka pomiarowa metryka probabilistyczna metryka riemannowska metryka Czebyszewa metryka Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera metryka Hausdorffa metryka Mahalanobisa metryka Minkowskiego metryka Schwarzschilda Pseudometryki: pseudometryka pseudoriemannowska Przestrzenie metryzowalne: przestrzeń topologiczna przestrzeń unormowana przestrzeń pseudometryczna
Przypisy
Bibliografia Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.
Literatura dodatkowa Polskojęzyczna
Anglojęzyczna
Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, .
Linki zewnętrzne
Agnieszka Badeńska, Metryki, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 18 września 2017 [dostęp 2024-09-04]. [dostęp 2023-10-10]. Metric space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].