Псі-функція Дедекінда — мультиплікативна арифметична функція, яку ввів німецький математик Ріхард Дедекінд для вивчення модулярних функцій.
Значення функції ψ(n) для перших кількох натуральних чисел n:
1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... ().
Означення Псі-функція Дедекінда є арифметичною функцією, тобто є визначеною на множині натуральних чисел. За означенням ψ(1) = 1. Для інших чисел можна дати кілька еквівалентних означень:
Для
де добуток береться за всіма простими числами p, що ділять n.
Якщо розклад числа на прості множники є де всі то значення функції є рівним:
Функцію ψ для степенів простих чисел p є рівною і, до того ж вона є мультиплікативною, тобто для двох взаємно простих чисел і виконується рівність Ці дві властивості дозволяють визначити значення функції для довільного натурального числа. Означення функції Дедекінда можна дати також за допомогою згортки Діріхле
де , а є функцією Мебіуса.
Якщо нехай позначає найбільший спільний дільник чисел і Тоді:
де — функція Ейлера.
Властивості
Значення функції ψ(n) є більшим, ніж n для всіх n більших 1 і є парним для всіх n більших, ніж 2.
Псі-функція Дедекінда є мультиплікативною.
Якщо n є вільним від квадратів числом, то ψ(n) = σ(n).
Ряд Діріхле функції Дедекінда пов'язаний із дзета-функцією Рімана співвідношенням
Функції Дедекінда вищих порядків Узагальненням псі-функції є функції
де k є натуральними числами, а є арифметичними функціями Жордана:
Еквівалентно можна дати означення через згортку Діріхле:
.
Ряди Діріхле для цих функцій пов'язані із дзета-функцією співвідношеннями:
.
Якщо позначити
характеристичну функцію квадратів, то згортка цієї функції із узагальненою функцією Діріхле є рівною функції σk,
.
Див. також
Дзета-функція Рімана. Функція Ейлера Функція Мебіуса
Посилання
Джерела
(page 25, equation (1)) Section 3.13.2 is ψ2, is ψ3, and is ψ4