У функціональному аналізі та пов'язаних галузях математики стереотипні простори є класом топологічних векторних просторів, що виділяється деякою спеціальною умовою рефлексивності. Цей клас має серією чудових властивостей, зокрема, він досить широкий (наприклад, містить всі простори Фреше, і тому все банахові простори), він складається з просторів, підпорядкованих певній умові повноти, і утворює замкнуту моноїдальную категорію зі стандартними аналітичними засобами побудови нових просторів, такими як перехід до замкнутого підпростору, фактор-простором, проєктивній і ін'єктивній границі, простору операторів, тензорним добуткам тощо.
Категорія стереотипних просторів
Клас Ste стереотипних просторів утворює категорію з лінійними неперервними відображеннями морфізмами і має такі властивості:
Ste — предабелева категорія; Ste — повна і коповна категорія; Ste — автодуальна категорія відносно функтора переходу до спряженого простору; Ste — категорія з вузловим розкладом: будь-який морфізм має розклад , у якому — строгий епіморфізм, — біморфізм, а — строгий мономорфізм.
Для будь-яких двох стереотипних просторів и стереотипний простір операторів з в означається як псевдонасичення простору всіх лінійних неперервних відображень , наділеного топологією рівномірної збіжності на цілком обмежених множинах. Простір стереотипний. З його допомогою означаються два природних тензорних добутки в Ste:
Теорема. В категорії Ste виконуються наступні природні тотожності::
Зокрема, Ste — симетрична моноїдальна категорія щодо біфунктора , симетрична замкнута моноїдальна категорія щодо біфунктора і внутрішнього hom-функтора , і :
Ядро і коядро в категорії Ste Оскільки Ste — предабелева категорія, всякий морфізм в ній має ядро, коядро, образ і кообраз. Ці об'єкти задовольняють наступним природним тотожностям:
Прямі та зворотні границі в категорії Ste Справедливі наступні природні тотожності:
(тут — пряма границя а — обернена границя в категорії Ste).
Перетворення Гротендика
Якщо і — стереотипні простори, то для будь-яких елементів і формула
визначає елементарний тензор , а формула — елементарний тензор
Теорема. Для будь-яких стереотипних просторів і існує єдине лінійне неперервне відображення , що переводить елементарні тензори в елементарні тензори :
Сімейство відображень визначає природне перетворення біфунктора в біфунктор .
Відображення називається перетворенням Гротендика.
Примітки
Джерела