Ґратка — частково впорядкована множина, в якій для кожної пари елементів існує супремум та інфімум.
«Ґратко-подібними» структурами є напівґратки, ґратки, булеві алгебри, алгебри Гейтінга.
Всіх їх можна визначити і як алгебраїчні структури, тому теорія ґраток є частиною як теорії порядку, так і універсальної алгебри.
Напівґратка Напівґратка — частково впорядкована множина, в якій визначена операція join (join-напівґратка) або операція meet (meet-напівґратка).
Бінарні операції join та meet, позначаються та відповідно; очевидно, що вони є комутативними, асоціативними та ідемпотентними операціями.
Обидві операції є монотонними по відношенню до порядку, тобто: із та випливає та
Ґратка є одночасно join-напівґраткою та meet-напівґраткою.
Операцію join також можна визначити як бінарну операцію супремум(x, y), а операцію meet — інфімум(x, y). В такому разі join-напівгратку називають верхньою піврешіткою, а meet-напівгратку відповідно нижньою.
Тому означення: Верхня півґратка — частково впорядкована множина, з точною верхньою гранню (для кожної пари елементів існує супремум) . Нижня півґратка — частково впорядкована множина, з точною нижньою гранню (для кожної пари елементів існує інфімум).
Ґратка, як алгебрична структура
Ґратка може бути визначена як алгебрична структура з двома бінарними операціями (позначаються та ), що задовольняють тотожностям : (комутативність) (асоціативність) (закон поглинання) Із закону поглинання слідує не тільки: (ідемпотентність)
але і показується дуальність операцій та , що обумовлено дуальністю супремума та інфімума.
-ґратка — упорядкована множина, що містить точні межі всіх своїх скінченних і обмежених зліченних підмножинЮрачківський А. П. Начала функціонального аналізу і теорії інтеграла. — К., 2012. — 243 с..
-ґратка — упорядкована множина, що містить точні межі всіх своїх скінченних зліченних підмножин.
Обмежена ґратка — ґратка, в якій існує найбільший та найменший елемент, позначаються та відповідно. Довільну ґратку можна зробити обмеженою, доповнивши її елементами та .
Очевидно, що всі скінченні ґратки є обмеженими.
Доповнена ґратка — обмежена ґратка, в якій для кожного елемента a існує доповнення, тобто елемент b такий, що:
Дистрибутивна ґратка — ґратка, що задовольняє властивість: (дистрибутивність)
Булева алгебра — доповнена дистрибутивна ґратка.
Дистрибутивна напівґратка
Напівґратка теж може бути дистрибутивною: meet-напівґратка є дистрибутивною, якщо для всіх a, b, та x: Якщо a ∧ b ≤ x тоді існують a' та b' такі, що a ≤ a' , b ≤ b' та x = a' ∧ b' .
Модулярна ґратка — для довільного виконується
Властивості Для довільного виконується це доводиться обчисленням виразу при та
Приклади
множина всіх підмножин даної множини, впорядкована за включенням; ; будь-яка лінійно впорядкована множина; причому якщо , то ; множина всіх підпросторів векторного простору, упорядкованих за включенням, де — перетин, а — сума відповідних підпросторів; множина всіх невід'ємних цілих чисел, упорядкованих за подільністю: , якщо для деякого . Тут — найменше спільне кратне, а — найбільший спільний дільник даних чисел; дійсні функції, визначені на проміжку [0, 1], впорядковані умовою , якщо для всіх . тут , де .
Частковий порядок На ґратці також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та задовільняє умовам: x≤x (рефлексивність) якщо x≤y та y≤x, то x=y (антисиметричність) якщо x≤y та y≤z, то x≤z (транзитивність)
Зв'язок між різними визначеннями встановлюється формулами: a ∨ b = sup{a, b}, a ∧ b = inf{a, b}.
Та виконанням умови: якщо a ≤ b, то: a ∧ b = a, a ∨ b = b.
Теорема Стоуна
Ґратка є дистрибутивною тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому кільцю множин. Ґратка є булевою алгеброю тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому полю множин.
Примітки
Див. також Ґратка з діленням Ґратка (геометрія) Задачі теорії ґраток
Джерела
Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970. Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1982. — 456 с.