Зго́ртка () — математична операція двох функцій та , що дозволяє отримати третю функцію:
Основною властивістю згортки є те, що фур'є-образ згортки пропорційний добутку фур'є-образів функцій. Це ж стосується образу Лапласа згортки.
Згортка на групах Нехай — група Лі, оснащена мірою Хаара , і — дві функції, визначенні на . Тоді їх згорткою називається функція .
Властивості Комутативність:
Асоціативність:
Лінійність (дистрибутивність щодо додавання і асоціативність добутку з скаляром):
Правило диференціювання:
де означає похідну функції .
Перетворення Лапласа:
Перетворення Фур'є:
де означає перетворення Фур'є функції.
Якщо є матрицею дискретного перетворення Фур'є, то
,
де — символ торцевого добутку матриць, означає добуток Кронекера, — символ добутку Адамара (тотожність є розвитком властивості відлікового скетча).
Застосування
Згортки та пов'язані операції знаходять багато застосувань в науці, інженерії та математиці. В обробці зображень: Згортка в обробці зображень використовується в багатьох фільтрах, наприклад для розмиття, чи виявлення контурів. В фотографії, несфокусована фотографія є згорткою чіткого зображення з функцією лінзи. Фотографічний термін для цього поняття — Боке. В статистиці, зважене рухоме середнє є згорткою. Згорткові нейронні мережі застосовують багато каскадів ядер згорток для застосування в областях комп'ютерного зору та штучного інтелекту
Приклад програми Нижче наведено приклад згортки, написаний на С++ : /* * Розмір вихідної послідовності рівний M + N - 1 */ double * conv(double * x, int N, double * h, int M) { double * result = new double[N + M - 1]; memset(result, 0, sizeof(double) * (N + M - 1));
for (int i = 0; i < N; ++i)
for (int j = 0; j < M; ++j)
result[i + j] += x[i] * h[j];
return result; }
Див. також Зворотня згортка (математичний аналіз)
Примітки
Література
Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.