Арифметическая функция — функция, определённая на множестве натуральных чисел и принимающая значения из множества комплексных чисел .
Сумма арифметической функции — функция , определённая как: , эта операция является в некотором смысле дискретным аналогом неопределённого интеграла; при этом, хотя исходная функция и была определена только на , её сумму оказывается удобным считать определённой на всей положительной полуоси (при этом она, естественно, кусочно-постоянна).
Свёртка Дирихле двух арифметических функций и :
является одной из ключевых конструкций в алгебраической теории чисел, поскольку арифметические функции относительно суммы и свёртки Дирихле образуют коммутативное кольцо, что позволяет использовать общеалгебраический инструментарий для исследования теоретико-числовых свойств.
Арифметической функции можно сопоставить её «производящую функцию» — ряд Дирихле; , при этом свёртке Дирихле двух арифметических функций соответствует произведение их производящих функций.
Поточечное умножение на логарифм:
является дифференцированием алгебры арифметических функций: относительно свёртки оно удовлетворяет правилу Лейбница . Переход к производящей функции превращает эту операцию в обычное дифференцирование.
Некоторые арифметические функции Число натуральных делителей натурального числа — — является арифметической функцией ; если и взаимно просты, то каждый делитель произведения может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей и делителей , и обратно, каждое такое произведение является делителем . Отсюда следует, что функция мультипликативна (. Если — каноническое разложение натурального , то в силу мультипликативности: . Так как положительными делителями числа являются чисел , то . Число делителей большого целого числа n растёт в среднем как . Более точно — см. формулу Дирихле.
Функция делителей определяется как сумма делителей натурального числа : .
Функции и могут быть обобщены до — сумму -х (для произвольного, вообще говоря, комплексного ) степеней положительных делителей натурального числа : , или в нотации Айверсона: . Функция мультипликативна: .
Если — каноническое разложение натурального , то: . Сумма делителей числа растёт в среднем как линейная функция , где постоянная найдена Эйлером и есть .
Ещё одна важная арифметическая функция — функция Эйлера , определяется как количество положительных целых чисел, не превосходящих , взаимно простых с , в нотации Айверсона: . Функция Эйлера мультипликативна. В явном виде значение функции Эйлера выражается формулой: , где — различные простые делители .
Функцию Мёбиуса можно определить как арифметическую функцию, которая удовлетворяет следующему соотношению: , то есть сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого положительного числа равна нулю, если , и равна , если . Можно показать, что этому уравнению удовлетворяет лишь одна функция, и её можно явно задать следующей формулой: , где — различные простые числа, — простое число. Иначе говоря, функция Мёбиуса равна , если не свободно от квадратов (то есть делится на квадрат простого числа), и равна в противном случае (плюс или минус выбирается в зависимости от четности числа простых делителей ). Функция Мёбиуса является мультипликативной функцией. Важное значение функции Мёбиуса в теории чисел связано с формулой обращения Мёбиуса.
Примечания
Литература
Категория:Типы функций