В гидромеханике теоремы Гельмгольца, названные в честь Германа фон Гельмгольца, описывают трёхмерное движение жидкости вблизи вихревых линий (векторных линий завихренности). Эти теоремы применимы к невязким течениям и течениям, где влияние вязких сил мало и им можно пренебречь.
Интенсивность вихревой трубки (циркуляция) определяется так: где — циркуляция, — вектор завихренности, — вектор нормали к поверхности A, являющейся сечением вихревой трубки с элементом поверхности dA, — вектор скорости жидкости на замкнутом контуре C, который является границей области A. Соглашение о знаке циркуляции и вектора нормали к A использует правило правой руки. Третья теорема утверждает, что эта интенсивность одна и та же для всех сечений трубки и не зависит от времени. Это можно записать по-другому как
Три теоремы Гельмгольца таковы:
Первая теорема Гельмгольца
Интенсивность вихревой линии постоянна по её длине.
Вторая теорема Гельмгольца
Вихревая линия не может заканчиваться в жидкости; она должна доходить до границ жидкости или образовывать замкнутую кривую.
Третья теорема Гельмгольца
Элемент жидкости, который изначально является безвихревым, остается безвихревым.
Теоремы Гельмгольца применимы к невязким течениям. При наблюдении за вихрями в реальных жидкостях завихренность всегда постепенно убывает из-за диссипативного эффекта вязких сил.
Альтернативные формулировки трёх теорем следующие:
Интенсивность вихревой трубки не меняется со временем. Элементы жидкости, лежащие на вихревой линии в какой-то момент времени, продолжают лежать на этой вихревой линии. Проще говоря, вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Кроме того, вихревые линии и трубки должны иметь вид замкнутой кривой, простираться до бесконечности или начинаться/заканчиваться на твёрдых границах. Элементы жидкости, изначально свободные от завихренности, остаются таковыми.
Теоремы Гельмгольца помогают понять:
Создание подъемной силы на аэродинамическом профиле Начальный вихрь Подковообразный вихрь Вихри на концах крыльев.
Теоремы Гельмгольца в настоящее время обычно доказываются с помощью теоремы Кельвина о циркуляции. Однако теоремы Гельмгольца были опубликованы в 1858 году, за девять лет до публикации теоремы Кельвина в 1867 году.
Примечания
Ссылки М. Дж. Лайтхилл, Неформальное введение в теоретическую механику жидкости, Oxford University Press, 1986, PG Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, 1995, Г. К. Бэтчелор, Введение в гидродинамику, Cambridge University Press (1967, переиздано в 2000). Кунду, П. и Коэн, И., Механика жидкости, 2-е издание, Academic Press, 2002. Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков, 4-е издание, Academic Press: Сан-Диего (1995), стр. 92-93 AM Kuethe и JD Schetzer (1959), Основы аэродинамики, 2-е издание. John Wiley & Sons, Inc. Нью-Йорк
Категория:Аэродинамика Категория:Гидродинамика Категория:Физические теоремы