Теорема Какутани о неподвижной точке — обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке на многозначные функции.
Формулировка Пусть — непустое компактное выпуклое подмножество евклидова пространства. Пусть — многозначная функция на , такая, что множество непусто и выпукло для всех , и имеет замкнутый график, то есть множество
замкнуто в топологии прямого произведения . Тогда имеет неподвижную точку, то есть существует точка такая, что .
Замечание Из следующего примера видно, что требование выпуклости множеств существенно.
Зафиксируем достаточно маленькое положительное число и рассмотрим функцию
определенную на отрезке . Заметим, что множество не выпукло и эта функция не имеет неподвижной точки, хотя удовлетворяет всем остальным требованиям теоремы.
О доказательствах
Теорему Какутани можно свести к теореме Брауэра аппроксимацией.
Теорему Какутани можно вывести из леммы Шпернера аналогично теореме Брауэра.
История
Теорема доказана Сидзуо Какутани в 1941 году, чтобы доказать теорему о минимаксе в антагонистической игре.
Она была использована Джоном Нэшем при доказательстве существования равновесия Нэша в знаменитой двухстраничной статье, которая принесла ему Нобелевскую премию по экономике.
Примечания
Ссылки Воробьёв Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. — М.: Наука, 1984. Савватеев А.В. Основные теоремы теории игр // Общеинститутский семинар «Коллоквиум МИАН» 4 декабря 2014 г. 16:00, г. Москва, конференц-зал МИАН (ул. Губкина, 8).
Категория:Теоремы топологии Категория:Теория общего равновесия