În geometrie, sistemul de coordonate carteziene în plan este un sistem de coordonate care specifică fiecare punct în mod unic printr-o pereche de numere reale numite coordonate, ce reprezintă distanțele luate cu semn de la respectivul punct până la două drepte fixe orientate perpendicular, numite axe de coordonate, sau doar axe (singular axă) ale sistemului. Punctul în care se întâlnesc se numește origine și are coordonatele .
În mod similar, poziția oricărui punct din spațiul tridimensional poate fi specificată prin trei coordonate carteziene, care sunt distanțele luate cu semn de la acel punct la trei plane reciproc perpendiculare. Mai general, coordonate carteziene specifică punctul într-un spațiu euclidian -dimensional pentru orice dimensiune . Aceste coordonate sunt distanțele de la punct la hiperplane fixe reciproc perpendiculare.
Coordonatele carteziene își iau numele de la René Descartes, care prin crearea lor în secolul al XVII-lea a revoluționat astfel matematica, oferind prima legătură sistematică între geometrie și algebră. Folosind sistemul de coordonate carteziene, formele geometrice (cum ar fi curbele) pot fi descrise prin ecuații care implică coordonatele punctelor respectivei forme. De exemplu, un cerc cu raza 2, cu centrul în originea planului, poate fi descris ca mulțimea tuturor punctelor ale căror coordonate și satisfac ecuația .
Coordonatele carteziene sunt fundamentul geometriei analitice și oferă interpretări geometrice care aduc lumină în multe alte ramuri ale matematicii, cum ar fi algebra liniară, analiza complexă, geometria diferențială, calculul infinitezimal multivariat, teoria grupurilor și multe altele. Un exemplu familiar este conceptul de grafic al unei funcții. Coordonatele carteziene sunt instrumente esențiale și pentru majoritatea disciplinelor aplicate care tratează cu aspecte de geometrie, inclusiv astronomia, fizica, ingineria și multe altele. Sunt cel mai comun sistem de coordonate utilizat în grafica pe calculator, proiectarea geometrică asistată de calculator și alte .
Istorie Adjectivul cartezian se referă la matematicianul și filozoful francez René Descartes, care a publicat această idee în 1637 în timp ce trăia în Țările de Jos. Conceptul a fost descoperit independent de Pierre de Fermat, care lucra și în trei dimensiuni, deși Fermat nu a publicat descoperirea. Clericul francez Nicole Oresme a folosit construcții similare coordonatelor carteziene cu mult înainte de vremea lui Descartes și Fermat.
Atât Descartes, cât și Fermat au folosit o singură axă în tratarea lor și au o lungime variabilă măsurată în raport cu această axă. Conceptul de folosire a unei perechi de axe a fost introdus mai târziu, după ce a lui Descartes a fost tradusă în latină în 1649 de către Frans van Schooten și studenții săi. Acești comentatori au introdus mai multe concepte în timp ce încercau să clarifice ideile conținute în opera lui Descartes..
Dezvoltarea sistemului de coordonate carteziene avea să joace un rol fundamental în dezvoltarea calculului infinitezimal de către Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz.A Tour of the Calculus, David Berlinski. Descrierea cu două coordonate a planului a fost ulterior generalizată în conceptul de spațiu vectorial.
Descartes a mai dezvoltat multe alte sisteme de coordonate, cum ar fi coordonatele polare pentru plan și coordonatele sferice și cilindrice pentru spațiul tridimensional.
Descriere
O singură dimensiune Alegerea unui sistem de coordonate carteziene pentru un spațiu unidimensional – adică pentru o linie dreaptă – implică alegerea unui punct O al dreptei (originea), a unei unități de lungime și a unei orientări pentru dreaptă. O orientare alege care dintre cele două semidrepte determinate de O este pozitivă și care este negativă; spunem apoi că dreapta „este orientată” (sau „îndreptată”) dinspre jumătatea negativă spre jumătatea pozitivă. Atunci fiecare punct P al dreptei poate fi specificat prin distanța sa față de O, luată cu semnul + sau − în funcție de semidreapta care conține P.
O dreaptă cu un sistem cartezian ales se numește dreapta numerelor. Fiecare număr real are o locație unică pe dreaptă și invers, fiecare punct de pe dreaptă poate fi interpretat ca un număr într-un continuum ordonat, cum ar fi numerele reale.
Două dimensiuni Un sistem de coordonate carteziene în două dimensiuni (numit și sistem de coordonate dreptunghiular sau sistem de coordonate ortogonal) este definit de o pereche ordonată de linii perpendiculare (axe), o singură pentru ambele axe și o orientare pentru fiecare. axă. Punctul în care se întâlnesc axele este luat ca origine pentru ambele, transformând astfel fiecare axă într-o dreaptă a numerelor. Prin orice punct P, se trasează câte o dreaptă perpendiculară pe fiecare axă, iar poziția în care se întâlnește cu axa este interpretată ca un număr. Cele două numere, în ordinea aleasă, sunt coordonatele carteziene ale lui P. Construcția inversă permite determinarea poziției punctului P pe baza coordonatelor sale.
Prima coordonată se numește , iar a doua se numește lui P; iar punctul în care se întâlnesc axele se numește originea sistemului de coordonate. Coordonatele sunt de obicei scrise ca două numere între paranteze, în această ordine, separate prin virgulă, cum ar fi . Astfel originea are coordonatele , iar punctele de pe semiaxele pozitive, la o unitate distanță de origine, au coordonatele și .
În matematică, fizică și inginerie, prima axă este de obicei definită sau descrisă ca orizontală și orientată spre dreapta, iar a doua axă este verticală și orientată în sus. (Totuși, în unele contexte din domeniul graficii pe calculator, axa ordonatelor poate fi orientată în jos.) Originea este adesea etichetată cu O, iar cele două coordonate sunt adesea notate cu literele X și Y, sau x și y. Axele pot fi denumite apoi axa X și axa Y. Alegerile de litere provin din convenția inițială, aceea de a folosi ultima parte a alfabetului pentru a indica valori necunoscute. Prima parte a alfabetului a fost folosită pentru a nota valori cunoscute.
Un plan euclidian cu un sistem de coordonate carteziene ales se numește . Într-un plan cartezian se pot defini reprezentanții canonici ai anumitor figuri geometrice, cum ar fi cercul unitate (cu raza egală cu unitatea de lungime și centrul în origine), pătratul unitate (a cărui diagonală are capetele la și , hiperbola unitate și așa mai departe.
Cele două axe împart planul în patru unghiuri drepte, numite cadrane. Cadranele pot fi denumite sau numerotate în diferite moduri, dar cadranul în care toate coordonatele sunt pozitive este de obicei numit primul cadran.
Dacă coordonatele unui punct sunt , atunci distanțele de la acesta până la axa X și până la axa Y sunt și, respectiv ; unde cu | · | se notează a unui număr.
Trei dimensiuni
Un sistem de coordonate carteziene în două dimensiuni (numit și sistem de coordonate dreptunghiular sau sistem de coordonate ortogonal) este definit de o pereche ordonată de drepte perpendiculare (axe), o singură pentru ambele axe și o orientare pentru fiecare. axă. Punctul în care se întâlnesc axele este luat ca origine pentru ambele, transformând astfel fiecare axă într-o dreaptă a numerelor. Prin orice punct P, se trasează câte o dreaptă perpendiculară pe fiecare axă, iar poziția în care se întâlnește cu axa este interpretată ca un număr. Cele două numere, în ordinea aleasă, sunt coordonatele carteziene ale lui P. Construcția inversă permite determinarea poziției punctului P pe baza coordonatelor sale.
Alternativ, fiecare coordonată a unui punct P poate fi luată ca distanță de la P la hiperplanul definit de celelalte două axe, semnul fiind determinat de orientarea axei corespunzătoare.
Fiecare pereche de axe definește un hiperplan de coordonate. Aceste hiperplane împart spațiul în opt . Octanții sunt:Coordonatele sunt de obicei scrise ca trei numere (sau formule algebrice) înconjurate de paranteze și separate prin virgule, ca în sau . Astfel, originea are coordonatele , iar punctele unitate de pe cele trei axe sunt , și .
Nu există denumiri standard pentru coordonatele pe cele trei axe (totuși, uneori sunt folosiți termenii abscisă, ordonată și aplicată). Coordonatele sunt adesea notate cu literele X, Y și Z, sau x, y și z. Axele pot fi denumite apoi axa X, axa Y și, respectiv, axa Z. Atunci hiperplanurile de coordonate pot fi denumite planul XY, planul YZ și planul XZ.
În contextele de matematică, fizică și inginerie, primele două axe sunt adesea definite sau descrise ca orizontale, cu a treia axă îndreptată în sus. În acest caz, a treia coordonată poate fi numită înălțime sau altitudine. Orientarea este de obicei aleasă astfel încât unghiul de 90 de grade de la prima axă la a doua axă să arate în sens invers acelor de ceasornic atunci când este văzut din punctul ; o convenție care se numește în mod obișnuit regula mâinii drepte.
Dimensiuni mai mari Deoarece coordonatele carteziene sunt unice și neambigue, punctele unui plan cartezian pot fi identificate cu perechi de numere reale; adică cu produsul cartezian , Unde este mulțimea tuturor numerelor reale. În același mod, punctele din orice spațiu euclidian de dimensiune n pot fi identificate cu (listele) a n numere reale; adică cu produsul cartezian .
Generalizări Un sistem de coordonate carteziene în două dimensiuni (numit și sistem de coordonate dreptunghiular sau sistem de coordonate ortogonal) este definit de o pereche ordonată de linii perpendiculare (axe), o singură pentru ambele axe și o orientare pentru fiecare. axă. Punctul în care se întâlnesc axele este luat ca origine pentru ambele, transformând astfel fiecare axă într-o dreaptă a numerelor. Prin orice punct P, se trasează câte o dreaptă perpendiculară pe fiecare axă, iar poziția în care se întâlnește cu axa este interpretată ca un număr. Cele două numere, în ordinea aleasă, sunt coordonatele carteziene ale lui P. Construcția inversă permite determinarea poziției punctului P pe baza coordonatelor sale.
Notații și convenții Coordonatele carteziene ale unui punct se scriu de obicei între paranteze și separate prin virgule, ca în exemplele: sau . Originea este adesea etichetată cu litera mare O. În geometria analitică, coordonatele necunoscute sau generice sunt adesea notate cu literele (x, y) în plan și (x, y, z) în spațiul tridimensional. Acest obicei provine dintr-o convenție a algebrei, care folosește litere de la sfârșitul alfabetului pentru valori necunoscute (cum ar fi coordonatele punctelor în multe probleme geometrice) și litere aproape de început pentru cantități date.
Aceste notații convenționale sunt adesea folosite și în alte domenii, cum ar fi fizica și ingineria, deși pot fi folosite și alte litere. De exemplu, într-un grafic care arată modul în care o presiune variază în timp, coordonatele graficului pot fi notate p și t. Fiecare axă este de obicei numită după coordonata care este măsurată de-a lungul ei; deci, se spune axa x, axa y, axa t etc.
O altă convenție obișnuită pentru notarea coordonatelor este utilizarea indicelui, ca (x1, x2, ..., xn) pentru cele n coordonate dintr-un spațiu n-dimensional, mai ales când n este mai mare ca 3 sau nespecificat. Unii autori preferă numerotarea (x0, x1, ..., xn−1 ). Aceste notații sunt deosebit de avantajoase în programarea calculatoarelor: prin stocarea coordonatelor unui punct sub formă de , în loc de , indicele poate servi la indexarea coordonatelor.