În fizică, paradoxul gemenilor este un experiment imaginar din teoria relativității restrânse, în care o persoană care călătorește în spațiu cu o navă de mare viteză se întoarce acasă și își găsește fratele geamăn identic rămas pe Pământ mai bătrân decât el. Acest rezultat pare neașteptat, deoarece situația pare simetrică, întrucât fratele rămas pe Pământ poate fi considerat ca fiind și el în mișcare în raport cu celălalt. De aceea se numește "paradox". Contradicția aparentă este explicată în cadrul teoriei relativității.
Istoric În celebra sa lucrare despre relativitatea restrânsă din 1905, Albert Einstein a prezis că dacă două ceasuri sunt puse împreună și sincronizate, și apoi unul este îndepărtat și apoi adus înapoi, atunci ceasul care a călătorit va rămâne în urma celui care a stat pe loc. Einstein considera aceasta ca o consecință naturală a relativității restrânse, nu un paradox cum se sugera, iar în 1911, a reenunțat acest rezultat sub forma:
Dacă punem o ființă vie într-o cutie... poate aranja ca ființa, după un zbor de durată arbitrară să poată fi adusă în locul original într-o condiție puțin modificată, în vreme ce organismele corespunzătoare rămase în pozițiile lor originale vor fi dat naștere de mult timp la noi generații. Pentru ființa în mișcare, durata călătoriei a fost doar o clipă, dacă mișcarea a fost făcută cu viteză apropiată de cea a luminii.în Resnick și Halliday, 1992
În 1911, Paul Langevin a făcut acest concept mai ușor de înțeles cu al său exemplu cu gemenii, din care unul e astronaut iar celălalt trăiește doar pe Pământ. Astronautul pleacă într-o călătorie spațială cu o navă care merge cu viteză apropiată de cea a luminii, pe când celălalt rămâne pe Pământ. Când fratele călător se întoarce acasă, el descoperă că este mai tânăr decât fratele lui, cu alte cuvinte, dacă frații ar fi avut fiecare un ceas, cel al astronautului ar fi rămas în urma celui rămas asupra fratelui de pe Pământ, ceea ce înseamnă că pentru astronaut a trecut mai puțin timp decât pentru celălalt. Langevin a explicat vitezele diferite de îmbătrânire astfel: “Doar călătorul a suferit o accelerație care i-a schimbat direcția vitezei”. Conform lui Langevin, accelerația este aici "absolută", în sensul că ea este cauza asimetriei.
Semnificația “Paradoxului Gemenilor” se bazează pe acest detaliu crucial al asimetriei dintre frați. Trebuie spus că nici Einstein nici Langevin nu au considerat aceste rezultate ca fiind literalmente paradoxale: Einstein l-a considerat doar "ciudat" iar Langevin l-a prezentat ca dovadă a mișcării absolute. Un paradox în utilizarea logică și științifică se referă la rezultate inerent contradictorii, adică logic imposibile, și ambii au susținut că diferența de timp ilustrată de această poveste a gemenilor este un fenomen natural și explicabil.
Exemplu Considerăm o navă spațială care se deplasează de pe Pământ până la cel mai apropiat sistem solar: o distanță ani lumină distanță, cu viteza (86,6% din viteza luminii, relativ la Pământ). Controlul misiunii, aflat pe Pământ, calculează astfel durata călătoriei (presupunând că imediat după plecare nava atinge viteza maximă): drumul dus-întors durează ani după timpul de pe Pământ (toți cei de pe Pământ vor fi cu 10,28 ani mai în vârstă când se întoarce nava). Trecerea timpului pe navă și îmbătrânirea călătorilor de-a lungul acestui drum va fi încetinită cu un factor de , inversul factorului Lorentz. În acest caz iar călătorii vor fi îmbătrânit doar cu 0,5×10,28 = 5,14 ani la întoarcere.
Membrii echipajului calculează și ei particularitățile călătoriei lor din punctul lor de vedere. Ei știu că sistemul solar îndepărtat și Pământul se mișcă relativ la nava aflată la viteza pe parcursul drumului. În sistemul lor în repaus, Pământul și sistemul solar sunt ani lumină (Contracția Lorentz), atât pe călătoria dus cât și pe cea de întors. Fiecare jumătate de drum durează , iar drumul dus întors durează 2×2,57 = 5,14 ani. Calculele lor arată ca ei vor sosi acasă după 5,14 ani. Ultimul calcul al călătorilor este complet de acord cu calculele celor de pe Pământ, deși călătoria este resimțită destul de diferit.
Dacă o pereche de gemeni se naște pe Pământ la ora și data plecării navei, iar unul pleacă în călătorie și celălalt rămâne pe Pământ, ei se vor întâlni după terminarea călătoriei, și fratele care a plecat are 5,14 ani iar cel rămas acasă are 10,28 de ani. Calculul ilustrează folosirea fenomenului de contracție a lungimii și a celui de dilatare temporală pentru a descrie și calcule și predicții ale relativității restrânse.
Rezolvarea paradoxului în relativitatea restrânsă
Abordarea standard tratează paradoxul gemenilor ca o aplicație directă a teoriei relativității restrânse. Aici, Pământul și nava nu sunt într-o relație simetrică: nava face o "întoarcere" în care simte forțe inerțiale, pe când Pământul nu face nicio întoarcere. Deoarece nu există nicio simetrie, nu este paradoxal faptul că un frate geamăn ajunge să fie mai tânăr ca celălalt. Cu toate acestea, tot este util să se arate că relativitatea restrânsă este consistentă, și cum se fac calculele din punctul de vedere al fratelui geamăn care călătorește.
Relativitatea restrânsă nu susține că toți observatorii sunt echivalenți, ci doar aceia din sistemele de referință inerțiale. Dar nava spațială accelerează la întoarcere. În contrast, fratele geamăn care rămâne acasă rămâne în sistemul inerțial pe toată durata zborului fratelui său. Asupra lui nu se aplică forțe de accelerare sau frânare.
Într-adevăr, nu sunt doar două, ci trei sisteme de referință inerțiale relevante: cel în care fratele rămas acasă este în repaus, cel în care fratele din navă este în repaus pe drumul de dus, și cel în care el este în repaus pe drumul de întoarcere acasă. În timpul accelerației la întoarcere, fratele care călătorește își schimbă sistemul de referință. În acel moment trebuie să-și ajusteze vârsta calculată a fratelui rămas acasă.
În relativitatea restrânsă, nu există conceptul de prezent absolut. Prezentul este definit ca o mulțime de evenimente simultane din punctul de vedere al unui observator dat. Noțiunea de simultaneitate depinde de sistemul de referință, și astfel trecerea de la un sistem la altul necesită o ajustare a definiției prezentului. Dacă ne închipuim prezentul ca pe un plan de simultaneitate (tridimensional) într-un spațiu Minkowski, atunci trecerea de la un sistem la altul conduce la înclinarea planului.
thumb|Diagramă Minkowski pentru paradoxul gemenilor
În diagrama spațiu-timp din dreapta, linia de univers a primului frate geamăn coincide cu axa verticală (poziția sa este presupusă constantă în spațiu, el deplasându-se doar în timp). La dus, al doilea frate se deplasează spre dreapta (linia neagră înclinată); la întors, se deplasează înapoi spre stânga. Liniile albastre arată planele de simultaneitate pentru fratele care călătorește, în timpul călătoriei dus; liniile roșii, arată planele de simultaneitate pentru întoarcere. Chiar înainte de a se întoarce, fratele din navă calculează vârsta fratelui rămas acasă măsurând intervalul de-a lungul axei verticale de la origine până la intersecția cu cea mai de sus dreaptă albastră. Imediat după întoarcere, dacă recalculează, el va măsura intervalul de la origine la dreapta roșie cea mai de jos. Într-un fel, în timpul întoarcerii, planul de simultaneitate trece de la albastru la roșu, trecând foarte repede peste un segment larg al liniei de univers a fratelui rămas acasă. Fratele rămas acasă a îmbătrânit brusc, după calculele fratelui din navă.
Paradoxul gemenilor ilustrează o trăsătură a modelului spațiu-timp relativist restrâns, spațiul Minkowski. Liniile de univers ale corpurilor în mișcare inerțială sunt geodezicele din spațiul-timp minkowskian. În geometria Minkowski liniile de univers ale corpurilor în mișcare inerțială maximizează timpul propriu scurs între două evenimente.
Asemănarea cu deplasarea Doppler relativistă
Vom vedea acum cum l-ar observa fiecare dintre frați pe celălalt în timpul călătoriei. Cu alte cuvinte, vom analiza cazul în care fiecare dintre frați are un ceas care îi indică vârsta și ce va arăta fiecare dintre cele două ceasuri. Soluția acestei probleme de observare se află în efectul Doppler relativist. Frecvența bătăilor unui ceas pe care cineva îl observă de la o sursă cu frecvența de repaus este
când sursa se depărtează (reducere a frecvenței; "deplasare spre roșu"). Când sursa se apropie, frecvența este mai mare ("deplasată spre albastru") și dată de
Astfel se combină efectele dilatării temporale (reducerea frecvenței sursei datorită mișcării ei, cu factorul ε) și deplasarea Doppler a frecvenței recepționate cu un factor de (1 v/c)−1, care se aplică chiar și pentru ceasuri independente de viteză (surse de lumină). Pentru cazul din exemplul de mai sus unde , frecvențele minimă și maximă recepționate sunt de 3,732 și de 0,268 de ori frecvența de repaus. Adică, ambii frați văd imaginea fratelui lor mișcându-se cu o viteză de doar 0,268 de ori viteza lor, sau invers, fiecare și-ar măsura propria viteză de îmbătrânire ca fiind de 3,732 ori mai mare ca cea a fratelui său. Cu alte cuvinte, fiecare frate vede că pentru fiecare oră care trece pentru el, pentru fratele său trec doar puțin mai mult de 16 minute. De observat că 3,732 = 1/0,268, adică sunt numere inverse.
Diagramele spațiu-timp din stânga arată calea semnalelor luminoase trimise între Pământ și navă (diagrama 1) și între navă și Pământ (diagrama 2). Aceste semnale poartă imaginile fiecărui frate, cu ceasul corespunzător, către celălalt frate. Linia verticală neagră este calea Pământului prin spațiu-timp iar celelalte muchii ale triunghiului arată calea navei prin spațiu-timp (ca și în diagrama Minkowski de mai sus). Prima diagramă arată semnalele care transportă imaginea de la Pământ la navă, iar cea de-a doua arată semnalele trimise de la navă spre Pământ. Din punctul de vedere al transmițătorului, el transmite acestea la intervale egale (o dată pe oră) conform propriului său ceas; dar conform fratelui care recepționează aceste semnale, ele nu sunt primite la intervale de timp egale, conform ceasului acestuia.
După ce nava a atins viteza sa de croazieră de 0,866 c, fiecare frate vede trecând 1 secundă în imaginea recepționată de la celălalt frate la fiecare 3,73 secunde din timpul său. Adică fiecare vede imaginea ceasului celuilalt mergând mai încet, nu doar cu factorul ε ci și mai încet, datorită efectului Doppler observațional. Aceasta este arătată în figuri prin liniile roșii. La un anumit moment, imaginile recepționate de fiecare frate se schimbă astfel încât acesta vede 3,73 secunde trecănd în imagine pentru fiecare secundă din timpul său. Adică, semnalele primite au crescut în frecvență datorită deplasării Doppler. Aceste imagini de înaltă frecvență sunt reprezentate în figură de liniile albastre.
Asimetria în imaginile deplasate Doppler Asimetria dintre Pământ și nava spațială se manifestă în această diagramă prin faptul că imaginile mai deplasate spre albastru (mai rapide) sunt primite de navă și cele mai deplasate spre roșu sunt primite de Pământ (mai lente) sunt recepționate de Pământ. Cu alte cuvinte, nava spațială vede imaginea schimbându-se de la o imagine deplasată spre roșu într-una deplasată spre albastru la punctul de întoarcere, la 2,57 de ani după plecare; Pământul vede imaginea navei schimbându-se de la una deplasată spre roșu într-una deplasată spre albastru după 9,59 ani (aproape de finalul perioadei când nava este absentă). Mai există însă o altă asimetrie a imaginilor: fratele de pe Pământ îl vede pe cel de pe navă îmbătrânind în același ritm în imaginile deplasate spre roșu și în cele deplasate spre albastru; fratele din navă îl vede pe cel de pe Pământ îmbătrânind în ritmuri diferite în imaginile deplasate spre roșu și în cele deplasate spre albastru.
Calculul duratelor de timp pe baza diagramelor Doppler