thumb|Dual: Cuboctaedru În geometrie un dodecaedru rombic este un poliedru Catalan cu 12 fețe congruente. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Este tranzitiv pe fețe și pe laturi
Proprietăți Dodecaedrul rombic este un zonoedru. Dualul tetraedrului triakis este cuboctaedrul. Lungimea diagonalei lungi a feței este exact de ori lungimea diagonalei scurte; astfel, unghiurile ascuțite de pe fiecare față măsoară arccos(), adică aproximativ 70,53°.
Fiind dualul unui poliedru arhimedic, dodecaedrul rombic este tranzitiv pe fețe, adică grupul de simetrie al poliedrului acționează tranzitiv pe setul său de fețe. În termeni elementari, aceasta înseamnă că pentru oricare două fețe A și B, există o rotație sau reflexie a poliedrului care ocupă aceeași regiune a spațiului când fața A este aplicată pe fața B.
Dodecaedrul rombic poate fi perceput ca anvelopa convexă a reuniunii vârfurilor unui cub și ale unui octaedru. Cele 6 vârfuri unde se întâlnesc 4 romburi corespund vârfurilor octaedrului, în timp ce cele 8 vârfuri unde se întâlnesc 3 romburi corespund vârfurilor cubului.
Dodecaedrul rombic este unul dintre cele nouă poliedre convexe tranzitiv pe laturi, celelalte fiind cele cinci poliedre platonice, cuboctaedrul, icosidodecaedrul și triacontaedrul rombic.
Dodecaedrul rombic poate fi folosit pentru a tesela spațiu tridimensional: poate fi aranjat pentru a umple un spațiu tridimensional, la fel ca hexagonul umple un plan.
Acest poliedru într-o teselare de umplere a spațiului poate fi perceput ca o a unei rețele cubice cu fețe centrate.
Un dodecaedru rombic poate fi divizat în 4 trapezoedre trigonale obtuze situate în jurul centrului său. Aceste romboedre sunt celulele unui fagure trapezoedric trigonal.
Dimensiuni Se notează cu a lungimea laturii dodecaedrului rombic.
Raza sferei încrise (tangentă la toate fețele dodecaedrului rombic) este
Raza sferei mediane este
Raza sferei care trece prin cele 6 vârfuri de ordinul 4 (unde se întâlnesc câte patru fețe), dar nu și prin cele 8 vârfuri de ordinul 3 este
Raza sferei care trece prin cele 8 vârfuri de ordinul 3 este exact de lungimea laturilor
Aria și volumul Dacă laturile au lungimea a, aria și volumul dodecaedrului rombic sunt
Coordonate carteziene 150pxVariații piritoedrice între cub și dodecaedru rombic150pxExpandare a dodecaedrului rombic Cele opt vârfuri în care trei fețe se întâlnesc la unghiurile lor obtuze au coordonatele carteziene: (±1, ±1, ±1)
Coordonatele celor șase vârfuri unde patru fețe se întâlnesc la unghiurile lor ascuțite sunt: (±2, 0, 0), (0, ±2, 0) și (0, 0, ±2).
Dodecaedrul rombic poate fi văzut ca un caz limită degenerat al unui piritoedru, cu permutarea coordonatelor și cu parametrul h = 1.
Proiecții ortogonale Dodecaedrul rombic are patru proiecții ortogonale particulare, de-a lungul axelor sale de simetrie, centrate pe față, pe latură și pe două tipuri de vârfuri, cu 3 și 4 poziții. Ultimele două corespund cu planele Coxeter B2 și A2. + Proiecții ortogonaleSimetrieproiectivăDodecaedrurombic120px120px120px120pxCuboctaedru(dual)120px120px120px120px
Poliedre înrudite thumb|Dodecaedru rombic sferic
Când sunt proiectate pe o sferă (v. figura din dreapta), se poate observa că laturile alcătuiesc laturile a două tetraedre dispuse în pozițiile lor duale (stella octangula). Această tendință continuă cu icositetraedrul deltoidal și hexecontaedrul deltoidal pentru perechile duale ale celorlalte poliedre regulate (împreună cu bipiramida triunghiulară dacă se iau în considerare pavările improprii), dând acestei forme denumirea sistematică alternativă de dodecaedru deltoidal.
Acest poliedru este o parte dintr-o succesiune de poliedre rombice și pavări cu simetria [n,3] din grupul Coxeter. Cubul poate fi considerat un hexaedru rombic unde romburile sunt pătrate.
Similar, se înrudește cu seria infinită de pavări cu configurațiile fețelor V3.2n.3.2n, prima în planul euclidian, iar restul în planul hiperbolic. 210pxV3.4.3.4(reprezentată ca desfășurată)210pxV3.6.3.6Pavare euclidiană pavare rombică210pxV3.8.3.8Pavare hiperbolică (reprezentată în modelul discului Poincaré)
Stelări thumb|Această animație arată construcția unui dodecaedru rombic stelat prin inversarea piramidelor centrate pe fețe ale unui dodecaedru rombic La fel cu multe poliedre convexe, dodecaedrul rombic poate fi stelat prin extinderea fețelor sau laturilor până când se întâlnesc pentru a forma un nou poliedru. Mai multe astfel de stelări au fost descrise de Dorman Luke. Prima stelare, numită adesea simplu dodecaedrul rombic stelat, este binecunoscută. Poate fi considerată un dodecaedru rombic cu fiecare față augmentată prin atașarea unei piramide cu baza un romb, cu înălțimea piramidei astfel încât laturile să se afle în planele fețelor învecinate.
Luke mai descrie patru stelări: a doua și a treia stelare (expandându-se spre exterior), una formată prin îndepărtarea celei de-a doua dintr-a treia și alta prin adăugarea dodecaedrului rombic original înapoi la precedenta. + Stelări ale dodecaedrului rombicPrimaA douaA treia180pxDodecaedrul rombic stelat160px 160pxMarele dodecaedru rombic stelat
Note
Bibliografie Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., . (Section 3-9) (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron) John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008). The Symmetries of Things (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p. 285, Rhombic dodecahedron)
Legături externe
Virtual Reality Polyhedra – The Encyclopedia of Polyhedra
Categorie:Poliedre Catalan Categorie:Poliedre cvasiregulate Categorie:Zonoedre Categorie:Pavări trunchiate Categorie:Poliedre care umplu spațiul