thumb|315px|GraFikoni za razne baze b:
Svaka kriva prolazi kroz tačku jer je bilo koji broj različit od nule podignut na stepen 0 1. U , vrijednost y je jednako bazi jer je svaki broj podignut na stepen od 1 sam broj.
Eksponencijacija je matematička operacija, napisana kao , koji uključuje dva broja, baza i eksponent ili power , i izgovara se kao " (podignuto) na (potenciju) ". Kada je pozitivan integer, eksponencijacija odgovara ponovljenom umnošku baze: to jest, je proizvod množenja baza:
Eksponent se obično prikazuje kao superskripta desno od baze. U tom slučaju, zove se "b podignut na n-tu potenciju, 'b (podignut) na stepen n', "n-ti stepen b", "b na n-tu potenciju", ili najkraće kao "b do n-og.
Polazeći od osnovne činjenice gore navedene da je za svaki pozitivan cijeli broj , pojavljivanja sve pomnoženo jedno s drugim, direktno slijedi nekoliko drugih svojstava eksponencijalnosti. Posebno:
Drugim riječima, kada se množi baza podignuta na jedan eksponent sa istom bazom podignutom na drugi eksponent, eksponenti se sabiraju. Iz ovog osnovnog pravila koje dodaju eksponenti možemo izvesti da mora biti jednako 1, kako slijedi. Za bilo koji , . Podjela obje strane sa daje .
Činjenica da se može na sličan način izvesti iz istog pravila. Na primjer, . Uzimanje kubnog korijena obje strane daje .
Pravilo da množenje čini da se eksponenti sabiraju može se koristiti i za izvođenje svojstava negativnih cjelobrojnih eksponenata. Razmotrite pitanje šta bi trebalo značiti . Da bi se poštivalo pravilo "eksponenti dodatak", mora biti slučaj da . Dijeljenje obje strane sa daje , što se jednostavnije može napisati kao , koristeći rezultat odozgo da je . Po sličnom argumentu, .
Svojstva razlomanih eksponenata također proizlaze iz istog pravila. Naprimjer, pretpostavimo da razmatramo i pitamo postoji li neki odgovarajući eksponent, koji možemo nazvati , tako da je . Iz definicije kvadratnog korijena, imamo da je . Prema tome, eksponent mora biti takav da . Korišćenje činjenice da množenje čini eksponente sabiranjem daje . na desnoj strani se također može napisati kao , dajući . Izjednačavajući eksponente na obje strane, imamo . Prema tome, , tako da .
Definicija eksponencijalnosti može se proširiti tako da omogući bilo koji realan ili kompleksni eksponent. Eksponencijaliranje cjelobrojnim eksponentima se također može definisati za širok spektar algebarskih struktura, uključujući matrice.
Eksponencijacija se intenzivno koristi u mnogim poljima, uključujući ekonomiju, biologiju, hemiju, fiziku i računarske nauke, s aplikacijama kao što su složeni interes, rast populacije, kinetika hemijske reakcije, ponašanje talasa i kriptografija s javnim ključem.
Terminologija Izraz naziva se "kvadrat od b ili b na kvadrat, jer je površina kvadrata sa dužinom stranice .
Slično tome, izraz naziva se "kub od b ili b kocka, jer je zapremina kocke s bočnom dužinom .
Kada je pozitivan cijeli broj, eksponent pokazuje koliko je kopija baze pomnoženo zajedno. Naprimjer, . Baza se pojavljuje puta u množenju, jer je eksponent . Ovde, je 5. stepen od 3, ili 3 podignuto na 5. stepen.
Riječ "podignut" se obično izostavlja, a ponekad i "potencija", tako da se može jednostavno pročitati "3 na 5.", ili "35." Stoga se eksponencijacija može izraziti kao "b na stepen n", "' 'b' na n-tu potenciju, ''b na n-tu, ili najkraće kao b na n.
Formula sa ugniježđenom eksponencijacijom, kao što je (što znači a ne ), naziva se potencija moći, ili jednostavno potdencija. Naprimjer, pisanje je ekvivalentno pisanju . Ovo se može generalizirati na to gdje pisanje znači . Naprimjer, se može izračunati kao , što se može izračunati kao , što je jednako , što je jednako 10..
Cjelobrojni eksponenti Operacija eksponencijaliranja sa celobrojnim eksponentima može se definisati direktno iz elementarnih aritmetičkih operacija.
Pozitivni eksponenti Definicija eksponencijacije kao ponavljanog množenja može se formalizirati korištenjem indukcije, a ova definicija se može koristiti čim se dobije asocijativnost množenja:
Osnovni slučaj je
a ponavljanje je
Asocijativnost množenja implicira da za bilo koje pozitivne cijele brojeve i ,
i
Nulti eksponent Po definiciji, svaki broj različit od nule podignut na stepen je :
Ova definicija je jedina moguća koja dozvoljava proširenje formule:
na nulte eksponente. Može se koristiti u svakoj algebarskoj strukturi sa množenjem koje ima identitet.
Intuitivno, se može protumačiti kao prazan proizvod kopija . Dakle, jednakost je poseban slučaj opće konvencije za prazan proizvod.
Slučaj je komplikovaniji. U kontekstima u kojima se razmatraju samo cjelobrojne potencije, vrijednosti se općenito dodjeljuje , ali u suprotnom, izbor da li će joj se dodijeliti vrijednost i koju vrijednost dodjela može ovisiti o kontekstu.
Negativni eksponenti Eksponencijacija sa negativnim eksponentima je definirana sljedećim identitetom, koji vrijedi za bilo koji cijeli broj i različit od nule : . Povećanje 0 na negativan eksponent je nedefinisano, ali se u nekim okolnostima može tumačiti kao beskonačnost ().
Ova definicija eksponencijalnosti sa negativnim eksponentima je jedina koja dozvoljava proširenje identiteta na negativne eksponente (razmotrite slučaj ).
Ista definicija se odnosi na inverzibilni element u multiplikativnom monoidu, odnosno algebarskoj strukturi, s asocijativnim množenjem i mulriplikativnim identitetom označenim kao (naprimjer, date dimenzije kvadratne matrice). Konkretno, u takvoj strukturi, inverz od inverzibilnog elementa standardno se označava
Identiteti i svojstva Slijedeći identiteti, koji se često nazivaju , važe za sve cjelobrojne eksponente, pod uslovom da je baza različita od nule:
Za razliku od sabiranja i množenja, eksponencijacija nije komutativna. Naprimjer, . Također, za razliku od sabiranja i množenja, eksponencijacija nije asocijativna. Naprimjer, , dok je . Bez zagrada, konvencionijski redoslijed operacija za serijsku eksponencijaciju u superskriptnoj notaciji je odozgo prema dolje (ili desno asocijativno), a ne odozdo prema gore (ili lijevo-asocijativno). (29 pages) (2+51+1 pages)
To je,
što je, općenito, drfukčije od:
Potencije zbira Potencije sume se normalno mogu izračunati iz potencija sabiraka pomoću binomne formule
Međutim, ova formula je istinita samo ako se sabirci mijenjaju (tj. da ), što se podrazumijeva ako pripadaju strukturi to je komutativno. U suprotnom, ako su i , recimo, kvadratne matrice od same veličine, ova formula se ne može koristiti. Iz toga slijedi da se u kompjuterskoj algebri mnogi algoritami koji uključuju cjelobrojne eksponente moraju promijeniti kada se baze eksponencijacije ne mijenjaju. Neki sistemi kompjuterske algebre opće namjene koriste drugačiju notaciju (ponekad umjesto ) za eksponencijaciju sa nekomutirajućim bazama, što se tada naziva ' nekomutativno eksponencijaliranje.
Kombinatorna interpretacija Za nenegativne cijele brojeve i , vrijednost je broj [ [funkcija (matematika)|funkcije]] iz skup od elemenata u skupu elemenata (pogledajte kardinalno eksponencijaliranje). Takve funkcije mogu biti predstavljene kao -torke]] iz -skupa elemenata (ili kao -slovne riječi iz -slovna abeceda). Neki primjeri za određene vrijednosti i dati su u sljedećoj tabeli: {| class="wikitable" ! ! moguće -torke elemenata iz skupa |- |0 = 0
|1 = 1 |(1, 1, 1, 1) |- |2 = 8 |(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) |- |3 = 9 |(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) |- |4 = 4 |(1), (2), (3), (4) |- |5 = 1 |()
Posebne baze Potencije desetica
U sistemu brojeva sa bazom deset (decimalni), cjelobrojne potencije se zapisuju kao cifra iza koje slijedi ili prethodi broj nula određenih predznakom i veličinom eksponenta. Naprimjer, .
Eksponencijacija sa bazom se koristi u naučnoj notaciji za označavanje velikih ili malih brojeva. Naprimjer, (brzina svjetlosti u vakuumu, u metrima u sekundi) se može napisati kao , a zatim približno kao . SI prefiksi zasnovane na moćima se također koriste za opisivanje malih ili velikih količina. Na primjer, prefiks kilo znači , tako da je kilometar . (xii+635 pages)
Potencije dvojke
Prve negativne potencije se obično koriste i imaju posebne nazive, npr.: pola i četvrtina .
Moći se pojavljuju u teoriji skupova, pošto skup sa članovima ima power set, skup svih njegovih podskups, koji ima članova.
Cjelobrojne moći su važne u računarstvu. Pozitivni cijeli brojevi daju broj mogućih vrijednosti za -bit cijeli broj binarni broj; na primjer, byte može uzeti različite vrijednosti. binarni brojevni sistem izražava bilo koji broj kao zbir stepena , i označava ga kao niz i , razdvojenih sa a binarna tačka, gde označava stepen koji se pojavljuje u zbiru; eksponent je određen mjestom ove : nenegativni eksponenti su rang na lijevoj strani tačke (počevši od ), a negativni eksponenti su određeni rangom s desne strane tačke.
Potenciranje jedan Potencije 1 su jednake 1: . To je zato što i
Prvi stepen broja je sam broj: Eksponent može biti vrlo velik, a izlaz je i dalje 1, naprimjer . Ovo izračunavanje uzrokuje grešku prelivanja u računarima jer je broj izuzetno velik, a rezultat podizanja 1 na taj stepen je samo 1.
Potenciranje nule Ako je eksponent pozitivan (), -ta potencija nule je nula: .
Ako je eksponent negativan (), -ti stepen nule je nedefiniran, jer mora biti jednak sa , a to bi bilo prema gore navedenom.
Izraz je ili definiran kao 1, ili je ostavljen nedefiniran.
Potencije negativne jedinice Ako je paran cijeli broj, tada je . To je zato što se negativan broj pomnožen sa drugim negativnim brojem poništava i daje pozitivan broj.
Ako je neparan cijeli broj, tada je . To je zato što će postojati preostali nakon uklanjanja svih parova .
Zbog toga su potencije korisne za izražavanje naizmjeničnih sekvencija.
Potencije 3 Ternarna logika koristi bazu 3 kao alternativu bazi −2 za binarnu logiku, koju koriste svi savremeni računari. Postoje mnoge prednosti dizajniranja računara sa bazom 3 uključujući veću sigurnost.
Veliki eksponenti Ograničenje niza stepena broja većeg od jedan se razilazi; drugim riječima, niz raste neograničeno: kao kada je
Ovo se može pročitati kao "b na stepen n teži ka +∞ kao n teži beskonačnosti kada je b veće od 1". Potencije broja sa apsolutna vrijednost manjim od jedan teže nuli: kao kada je
Svaka potencija 1 je uvijek 1: za sve ako je
Potencije se naizmjenično smjenjuju između i kao što se mijenja između parnih i neparnih, i stoga ne teže bilo kojoj granici kako raste.
Ako se , mijenja između većih i većih pozitivnih i negativnih brojeva jer se izmjenjuje između parnih i neparnih, i stoga ne teži bilo kakvom ograničenju kako raste.
Ako eksponencirani broj varira dok teži ka dok eksponent teži beskonačnosti, onda granica nije nužno jedna od onih iznad. Posebno važan slučaj je kao
Funkcije potencija thumb|left|Potencija funkcije za thumb|Potencika funkcije za
Realne funkcije oblika , gdje je , ponekad se nazivaju funkcije potencije.<r ef></ref> Kada je integer i , postoje dvije primarne porodice: za čak i za neparan. Općenito za , kada je paran težit će ka pozitivnoj beskonačnosti sa povećanjem , kao i prema pozitivnoj beskonačnosti sa smanjenjem . Svi grafikoni iz porodice parnih funkcija stepena imaju opći oblik , spljoštavajući se više u sredini kako se povećava. Funkcije sa ovom vrstom simetrija nazivaju se parne funkcije.
Kada je neparan, asimptotično ponašanje se obrće s pozitivnog na negativno matematika>. Za , će također težiti pozitivnom beskonačnost sa povećanjem math>, ali prema negativnoj beskonačnosti sa smanjenjem . Svi grafikoni iz porodice funkcija neparnog stepena imaju opći oblik , spljoštavajući se više u sredini kako se povećava i gube svu ravnost u ravnini linija za . Funkcije sa ovom vrstom simetrije se nazivaju neparne funkcije.
Za , suprotno asimptotsko ponašanje je istinito u svakom slučaju.
Potencije decimalnih brojeva