У матэматыцы, трансцэндэнтны лік — лік (рэчаісны ці камплексны), які не з'яўляецца алгебраічным, г. зн. не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Самымі знакамітымі прыкладамі трансцэндэнтных лікаў з'яўляюцца і e. Хаця вядома толькі некалькі класаў трансцэндэнтных лікаў (часткова таму, што даказаць трасцэндэнтнасць пэўнага ліку бывае вельмі складана), трансцэндэнтныя лікі не рэдкасць. Больш таго, амаль усе рэчаісныя і камплексныя лікі трансцэндэнтныя, таму што алгебраічныя лікі ўтвараюць злічальнае мноства, тады як мноствы і рэчаісных, і камплексных лікаў абодва незлічальныя. Усе рэчаісныя лікі з'яўляюцца ірацыянальнымі, бо ўсе рацыянальныя лікі алгебраічныя. Адваротнае несправядліва: не ўсе ірацыянальныя лікі трансцэндэнтныя; напрыклад, квадратны корань з 2 ірацыянальны, але не трансцэндэнтны лік, бо ён з'яўляецца рашэннем алгебраічнага ўраўнення .
Гісторыя Слова «трансцэндэнтны» паяўляецца ў Лейбніцавай працы 1682 года, дзе ён даказаў, што Sin x — не алгебраічная функцыя ад x. Эйлер быў мабыць першым, хто вызначыў трансцэндэнтныя лікі ў сучасным сэнсе.
У 1844 годзе Жазеф Ліувіль першы даказаў існаванне трансцэндэнтных лікаў, і ў 1851 годзе прывёў першыя дзесятковыя прыклады, такія як пастаянная Ліувіля
дзе n-я лічба пасля коскі раўняецца 1, калі n роўнае k! (k фактарыял) для некаторага k, і 0 у процілеглым выпадкуWeisstein, Eric W. «Liouville's Constant», MathWorld. Ліувіль паказаў, што гэты лік адносіцца да класа лікаў, якія цяпер называюцца лікамі Ліувіля; такія лікі можна прыблізіць рацыянальнымі лікамі больш дакладна, чым гэта можна зрабіць для любых ірацыяльных алгебраічных лікаў. Ліувіль паказаў, што ўсе Ліувілевы лікі трансцэндэнтныя.
Іаган Генрых Ламберт у сваёй працы 1761 года, дзе ён даказаў ірацыянальнасць ліку , выказаў здагадку, што e і абодва трансцэндэнтныя. Першым лікам, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, а не вызначана пры пабудове (г. зн. лік не канструяваўся адмыслова як прыклад трансцэндэнтнасці), стаў лік e, даказаў гэта Шарль Эрміт у 1873 годзе.
У 1874 годзе Георг Кантар даказаў, што алгебраічныя лікі ўтвараюць злічальнае мноства, а рэчаісныя — незлічальнае. Ён таксама прыдумаў новы метад для канструявання трасцэндэнтных лікаў. У 1878 годзе Кантар апублікаваў выкладкі, якія даказвалі, што трасцэндэнтных лікаў гэтак жа многа, як і рэчаісных (Кантарава канструкцыя дае ўзаемнаадназначную адпаведнасць паміж мноствам трансцэндэнтных лікаў і мноствам рэчаісных лікаў. У гэтым артыкуле Кантар толькі прымяняе сваю канструкцыю да мноства ірацыянальных лікаў. Гл. с. 254.). Кантарава праца ўстанавіла паўсюднасць трансцэндэнтных лікаў.
У 1882 годзе Фердынанд фон Ліндэман апублікаваў доказ трансцэндэнтнасці ліку π. Спачатку ён паказаў, што e ў любой ненулявой алгебраічнай ступені з'яўляецца трасцэндэнтным лікам, і раз eiπ = −1 ёсць алгебраічны лік (гл. тоеснасць Эйлера), то лік iπ і, адсюль, лік π павінны быць трансцэндэнтнымі. Гэты падыход быў абагульнены Карлам Веерштрасам як тэарэма Ліндэмана — Веерштраса. Трансцэндэнтнасць ліку π дазволіла даказаць для некалькіх антычных геаметрычных задач на пабудову немагчымасць іх развязання з дапамогаю цыркуля і лінейкі, уключаючы самую знакамітую з іх — квадратуру круга.
У 1900 годе Давід Гільберт паставіў важнае пытанне аб трансцэндэнтных ліках, сваю сёмую праблему: Калі a ёсць алгебраічны лік, не роўны нулю і адзінцы, а b — ірацыянальны алгебраічны лік, ці будзе лік ab абавязкова трасцэндэнтным? Станоўчы адказ у 1934 годе дала тэарэма Гельфанда — Шнайдэра. Гэты вынік быў пашыраны Аланам Бэйкерам у 1960-х у яго працы аб ніжніх ацэнках для лінейных форм ад адвольнага ліку лагарыфмаў алгебраічных лікаўJ J O'Connor and E F Robertson: Alan Baker. The MacTutor History of Mathematics archive 1998..
Уласцівасці Мноства трансцэндэнтных лікаў бесканечнае і, больш таго, незлічальнае. З таго, што мнагачлены з цэлымі каэфіцыентамі ўтвараюць злічальнае мноства, і кожны мнагачлен мае канечны лік нулёў, мноства алгебраічных лікаў таксама павінна быць злічальным. Але Кантараў дыяганальны доказ паказвае, што рэчаісных лікаў (і адсюль таксама камплексных лікаў) незлічальнае мноства; таму мноства ўсіх трансцэндэнтных лікаў таксама павінна быць незлічальным.
Сярод трансцэндэнтных лікаў няма рацыянальных, г. зн. усе рэчаісныя траснцэндэнтныя лікі ірацыянальныя. Рацыянальны лік можна запісаць як p/q, дзе p і q — цэлыя лікі. Відавочна, p/q ёсць корань мнагачлена qx − p = 0. Аднак, некаторыя ірацыянальныя лікі не з'яўляюцца трансцэндэнтнымі. Напрыклад, квадратны корань з 2 ірацыянальны, але не трансцэндэнтны (бо з'яўляецца рашэннем алгебраічнага ўраўнення x² − 2 = 0). Тое ж справядліва для квадратных каранёў з іншых лікаў, якія не з'яўляюцца поўнымі квадратамі.
Любая непастаянная алгебраічная функцыя ад аднае зменнай дае трансцэндэнтнае значэнне, калі яе аргумент — трансцэндэнтны лік. Напрыклад, ведаючы, што π — трансцэндэнтны лік, адразу ж можна сказаць, што такія лікі, як 5π, (π − 3)/√, (√ − √)8 і (π5 + 7)1/7, таксама трансцэндэнтныя.
Аднак, алгебраічная функцыя некалькіх зменных можа даваць алгебраічны лік пры трансцэндэнтных аргументах у тым выпадку, калі яны алгебраічна залежныя. Напрыклад, π і (1 − π) абодва трансцэндэнтныя, а вось π + (1 − π) = 1 відавочна не. Невядома, трансцэндэнтны лік π + e ці не, хаця прынамсі адзін з лікаў π + e і πe павінен быць трансцэндэнтным. Больш агульна, для любых двух трансцэндэнтных лікаў a і b, хоць адзін з лікаў a + b і ab будзе трансцэндэнтным. Каб убачыць гэта, разгледзім мнагачлен (x − a)(x − b) = x² − (a + b)x + ab. Калі (a + b) і ab абодва алгебраічныя, тады гэта будзе мнагачлен з алгебраічнымі каэфіцыентамі. З таго, што алгебраічныя лікі ўтвараюць алгебраічна замкнутае поле, вынікае, што карані мнагачлена, a і b, таксама будуць алгебраічнымі лікамі. Але гэта супярэчнасць, і таму хаця б адзін з каэфіцыентаў трансцэндэнтны.
Невылічальныя лікі ўтвараюць уласнае падмноства трансцэндэнтных лікаў.
Усе лікі Ліувіля трансцэндэнтныя, але не наадварот. Любы лік Ліувіля павінен мець неабмежаваныя няпоўныя дзелі ў раскладанні ў непарыўны дроб. Існуюць трансцэндэнтныя лікі, якія маюць абмежаваныя няпоўныя дзелі і таму не з'яўляюцца лікамі Ліувіля. Гэта вынікае з таго, што лікі, чые непарыўныя дробы маюць абмежаваныя няпоўныя дзелі, утвараюць незлічальнае мноства, тады як мноства алгебраічных лікаў злічальнае, і таму абавязкова знойдуцца неалгебраічныя (трасцэндэнтныя) лікі з абмежаванымі няпоўнымі дзелямі.
Карыстаючыся яўным відам раскладання ліку e ў непарыўны дроб, можна паказаць, што e — не лік Ліувіля (хоць няпоўныя дзелі ў яго непарыўным дробе неабмежаваныя). У 1953 годзе Курт Малер паказаў, што π — таксама не лік Ліувіля. Была выказана гіпотэза, што ўсе бесканечныя неперыядычныя непарыўныя дробы з абмежаванымі дзелямі прадстаўляюць трасцэндэнтныя лікі (перыядычныя непарыўныя дробы адпавядаюць квадратычным ірацыянальнасцям).
Роднасны клас — лікі ў замкнёнай форме, якія можна вызначаць рознымі спосабамі, уключаючы рацыянальныя лікі (і ў некаторых азначэннях усе алгебраічныя лікі), але таксама дазваляюць ступеняванне і лагарыфмаванне.
Лікі з даказанаю трансцэндэнтнасцю Лікі з даказанаю трансцэндэнтнасцю:
ea, калі a — алгебраічны лік, не роўны нулю (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса). π (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса). eπ, пастаянная Гельфанда, гэтак жа як e−π/2=i i (па тэарэме Гельфанда — Шнайдэра). ab, калі a — алгебраічны лік, не роўны 0 ці 1, а b — ірацыянальны алгебраічны лік (па тэарэме Гельфанда — Шнайдэра), у прыватнасці:
пастаянная Гельфанда — Шнайдэра (ці лік Гільберта). Непарыўнадробавая сталая, Карл Людвіг Зігель (1929)
sin(a), cos(a) і tan(a), а таксама csc(a), sec(a) і cot(a), для любога ненулявога алгебраічнага ліку a (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса). ln(a), калі a — алгебраічны лік, не роўны 0 ці 1, для любой галіны лагарыфмічнай функцыі (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса). W(a), калі a — ненулявы алгебраічны лік, для любой галіны Ламбертавай W-функцыі (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса). Γ(1/3),Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (ISBN 2-7056-1407-9). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number Γ(1/4), via Wolfram Mathworld, Transcendental Number and Γ(1/6). 0.12345678910111213141516…, Mahler (1976) p.12. лік Ω, (бо гэта невылічымы лік). Лік ФрэдгольмаAllouche & Shallit (2003) pp.385,403
больш агульна, любы лік віду
дзе 0 < |β| < 1, β — алгебраічны лік. Вышэйназваная пастаянная Ліувіля
больш агульна, любы лік віду
дзе 0 < |β| < 1 і β алгебраічнае Allouche & Shallit (2003) p.387. Любы лік, чые лічбы па некаторай аснове ўтвараюць . Пры β > 1
дзе — цэлая частка ліку β.
Лікі, пра якія невядома, трасцэндэнтныя яны ці не Лікі, для якіх на сёння не даказана ні іх трансцэндэнтнасць, ні іх алгебраічнасць: Большасць сум, здабыткаў, ступеней і пад. ліку π і ліку e. Напрыклад, для лікаў π + e, π − e, πe, π/e, ππ, ee, πe, π√, eπ² невядома, рацыянальныя яны, алгебраічныя ірацыянальныя ці трасцэндэнтныя. Вядомымі выключэннямі з'яўляюцца π + eπ, πeπ і eπ√ (для любога дадатнага цэлага n), для якіх было даказана, што яны трансцэндэнтныяModular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319. Пастаянная Эйлера — Маскероні γ (не даказана нават яе ірацыянальнасць). Пастаянная Каталана, для якой таксама невядома, ці ірацыянальная яна. Пастаянная Аперы, ζ(3) (якая, як даказаў Аперы, з'яўляецца ірацыянальным лікам) Рыманава дзэта-функцыя ў іншых няцотных натуральных пунктах, ζ(5), ζ(7), … (невядома, ірацыянальныя яны ці не.) , δ і α.
Гіпотэзы: , .
Накід доказу трасцэндэнтнасці ліку e Першы доказ, што аснова натуральных лагарыфмаў, e, — трасцэндэнтны лік, адносіцца да 1873 года. Тут будзем ісці шляхам Давіда Гільберта (1862—1943), які спрасціў першапачатковы доказ Шарля Эрміта. Ідэя наступная:
Будзем даказваць ад процілеглага. Дапусцім, што лік e алгебраічны. Тады існуе канечны набор цэлых каэфіцыентаў c0, c1, …, cn, якія задавальняюць ураўненне:
Цяпер для натуральнага k, вызначым наступны мнагачлен:
і дамножым абедзве часткі вышэйпрыведзенага ўраўнення на
каб атрымаць ураўненне:
Гэта ўраўненне можна запісаць у выглядзе
дзе
Лема 1. Няхай цэлы лік k выбраны так, што k+1 — просты лік, тады — ненулявы цэлы лік.
Доказ. Пакажам, што кожны член у P з'яўляецца цэлым лікам, дамножаным на суму фактарыялаў. Гэта вынікае з наступных разважанняў.
Для любога натуральнага j справядліва роўнасць
(гл. Гама-функцыя).
У складніках віду
дзе a — цэлы лік, 0 < a ≤ n, пад інтэгралам замест x падставім x—a. Пасля замены вынесем з-пад інтэграла множнік e-a, пад інтэгралам застанецца здабытак паказчыкавай функцыі і мнагачлена fk(x—a), які мае цэлыя каэфіцыенты і дзеліцца на xk+1. Такім чынам, P ператвараецца ў суму інтэгралаў віду
дзе k+1 ≤ j, і, такім чынам, гэта цэлы лік, які дзеліцца на (k+1)!. Пасля дзялення на k!, атрымліваем нуль па модулю (k+1).
Аднак, можна запісаць:
і адсюль для складніка з каэфіцыентам c0 атрымліваем
Выбіраючы k так, каб k+1 было простым лікам, большым за n і |c0|, атрымліваем, што не роўны нулю па модулю (k+1) і, такім чынам, ненулявы.
Лема 2. для дастаткова вялікага k.
Доказ. Заўважым, што
Усе сумножнікі ў правай частцы непарыўныя і абмежаваныя на адрэзку [0,n]. Таму існуюць такія велічыні G і H (незалежныя ад k), што для любых x на адрэзку [0,n] спраўджваюцца няроўнасці
Адсюль атрымліваем
З гранічнай роўнасці
вынікае, што
чаго дастаткова, каб завяршыць доказ лемы.
Заўважаючы, што k можна выбраць так, каб спраўджваліся абедзве лемы, атрымліваем супярэчнасць, неабходную, каб даказаць трасцэндэнтнасць ліку e.
Трасцэндэнтнасць ліку π Падобны падыход (у першапачатковым Ліндэманавым доказе выкарыстоўваўся іншы) можна выкарыстаць, каб паказаць, что лік π трансцэндэнтны. Акрамя таго, у доказе важную ролю адыгрываюць гама-функцыя і некаторыя ацэнкі (як і ў доказе для e), а таксама факты аб сіметрычных мнагачленах.