Twierdzenie Vitalego o zbieżności – twierdzenie teorii miary oraz analizy matematycznej stwierdzające możliwość dokonania przejścia granicznego pod znakiem całki. Jest uogólnieniem dobrze znanego twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Założenia twierdzenia są wyrażone z użyciem teorii miary oraz pojęcia jednakowej całkowalności ciągu funkcyjnego.
Twierdzenie Niech będzie przestrzenią z miarą. Przypuśćmy, że będzie ciągiem funkcyjnym w przestrzeni Lebesgue’a oraz niech gdzie Wówczas według -tej średniej (tj. w ) wtedy i tylko wtedy, gdy
(i) zbiega według miary do (ii) rodzina funkcji jest jednakowo całkowalna, tzn. dla dowolnej liczby istnieje taka że dla wszystkich zbiorów mierzalnych takich, że zachodzi dla wszystkich (iii) rodzina funkcji jest ciasna, tzn. dla dowolnej liczby istnieje zbiór mierzalny taki, że oraz dla wszystkich
Uwaga. Jeśli miara jest skończona to warunek (iii) wynika z (i) oraz (ii).
Uwaga. Jeśli istnieje taka funkcja że to rodzina jest jednakowo całkowalna i ciasna.
Uwaga. Zamiast (i) można zakładać, że zbiega punktowo do
Zobacz też twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej lemat Fatou
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-16].
Vitalego o zbieżności Kategoria:Ciągi funkcyjne