mały|Wielomiany potęgowe |300x300px Aproksymacja wielomianowa – metoda aproksymacji polegająca na przybliżeniu funkcji za pomocą wielomianu. Jako wielomiany bazowe można wybrać wielomiany potęgowe , wielomiany Legendre’a, wielomiany Czebyszewa, wielomiany Bernsteina, i inne. W artykule ograniczono rozważania do aproksymacji wielomianami potęgowymi, jednak idea aproksymacji innymi wielomianami bazowymi pozostaje identyczna.
Aproksymacja wielomianowa jest odpowiednia tylko do pewnego typu funkcji. W ogólności stosuje się też inne układy bazowe – na przykład wielomiany trygonometryczne (idealne do aproksymacji funkcji okresowych) czy wielomiany Laurenta, które dzięki obecności potęg ujemnych pozwalają na wydajną aproksymację funkcji posiadających osobliwości.
Sformułowanie problemu Wiemy, że dla pewnego zbioru punktów funkcja przyjmuje wartości Naszym celem jest znalezienie wielomianu potęgowego w postaci:
takiego, aby przybliżenie funkcji w punktach było jak najlepsze. Funkcję oceny jakości wielomianu można zdefiniować w różny sposób, często stosowane kryteria to: maksymalna różnica powinna być jak najmniejsza (aproksymacja jednostajna), suma wartości bezwzględnych różnic powinna być jak najmniejsza, suma kwadratów różnic powinna być jak najmniejsza (aproksymacja średniokwadratowa).
Aproksymacja wielomianowa średniokwadratowa W aproksymacji średniokwadratowej wielomianowej funkcja błędu jest zdefiniowana następująco:
Współczynnik jest ustaloną funkcją wagową. Najczęściej przyjmuje się, że funkcja wagowa zawsze przyjmuje wartość 1 – wówczas możemy ten czynnik pominąć.
Funkcja ta osiąga minimum w punkcie, w którym pochodne cząstkowe względem współczynników są równe zero. W celu znalezienia tego minimum należy rozwiązać zatem układ równań:
Po przekształceniach układ ten można sprowadzić do postaci:
Układ ten można rozwiązać, stosując np. wzory Cramera lub metodę Gaussa-Seidla.
Stopień wielomianu Liczba współczynników wielomianu powinna być mniejsza od liczby punktów, które ma przybliżać funkcja Dla zawsze jest możliwe wyznaczenie wielomianu przechodzącego dokładnie przez podane punkty – wówczas problem sprowadza się do interpolacji wielomianowej.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Aproksymacja