Kryterium Schlömilcha zagęszczające – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez niemieckiego matematyka, Oskara Schlömilcha.
Kryterium Niech dany będzie szereg liczbowy
którego ciąg wyrazów jest nierosnący oraz dla wszelkich Ponadto niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych
o tej własności, że
dla pewnego oraz wszystkich Wówczas szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg .
Konsekwencje Biorąc
otrzymuje się kryterium Cauchy’ego zagęszczające.
Przykład zastosowania Szereg
jest zbieżny. Istotnie, biorąc
mamy
dla wszelkich n. Oznacza to, że kryterium Schlömilcha zagęszczające się stosuje. Zatem rozważany szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
Zbieżność powyższego szeregu wynika z kryterium d’Alemberta, a więc wyjściowy szereg jest istotnie zbieżny.
Przypisy
Bibliografia D.D. Bonar, M. Khoury Jr., Real Infinite Series. Mathematical Association of America, Washington DC, 2006.
S