Kryterium Raabego – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich opublikowane w 1832J. L. Raabe, Untersuchungen über die Konvergenz und Divergenz der Reihen, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 10 (1832), 41-74. przez szwajcarskiego matematyka, Josepha Ludwiga Raabego. W 1834 Raabe opublikował wersję uogólnioną kryteriumJ.L. Raabe, Note zur Theorie der Convergenz und Divergenz der Reihen, „Journal für die reine und angewandte Mathematik” 11 (1834), 309–310..
Kryterium Niech dany będzie szereg
o wyrazach dodatnich oraz niech
Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
to szereg jest zbieżny.
Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
to szereg rozbieżny.
Kryterium Raabego można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły. Jeżeli
to szereg jest zbieżny. Jeżeli dla prawie wszystkich zachodzi
to szereg jest rozbieżny.
Wersja graniczna kryterium Raabego Spotykana jest też następująca graniczna, słabsza wersja kryterium Raabego nazywana wersją graniczną bądź limesową:
Jeżeli granica
istnieje, to szereg jest zbieżny, gdy oraz szereg jest rozbieżny, gdy .
Przykład zastosowania Niech będzie liczbą rzeczywistą oraz niech dany będzie szereg
Wówczas
skąd
a więc z kryterium Raabego (w wersji granicznej) rozważany szereg jest zbieżny, gdy oraz rozbieżny gdy W przypadku rozważany szereg to (rozbieżny) szereg harmoniczny.
Szereg harmoniczny W przypadku szeregu harmonicznego
dla wszystkich liczb naturalnych mamy
więc kryterium Raabego potwierdza rozbieżność tego szeregu. Sama rozbieżność szeregu harmonicznego jest jednak wykorzystywana w dowodzie kryterium (zob. Dowód).
Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga Jeśli ciąg maleje do to kryterium Raabego nie rozstrzyga o zbieżności. Istotnie, dla szeregu
ciąg
jest ciągiem malejącym do Ale na mocy kryterium Jermakowa szereg jest zbieżny.
Z drugiej strony dla szeregu
ciąg
maleje do Ale na mocy kryterium Schlömilcha szereg ten jest rozbieżny.
Przykłady te pokazują, że twierdzeniu nie można warunku Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
zastąpić warunkiem Jeżeli dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
Inaczej mówiąc, dla dostatecznie dużych zbiór elementów ciągu musi być izolowany od liczby
Porównanie wersji kryterium Niech dany będzie szereg
W tym przypadku
a stąd
tj. wersja graniczna kryterium Raabego nie rozstrzyga o zbieżności. Z drugiej jednak strony, dla wszystkich zachodzi
a więc na mocy (oryginalnego) kryterium Raabego rozważany szereg jest rozbieżny. Przykład ten pokazuje, że wersja graniczna kryterium Raabego jest słabsza od oryginalnej.
Dowód Idea dowodu kryterium Raabego polega na porównywaniu danego szeregu z szeregiem harmonicznym
który jest zbieżny dla oraz rozbieżny dla .
Niech dla szeregu zachodzi dla pewnego i dostatecznie dużych Stąd także
Niech będzie dowolną liczbą spełniającą Z uwagi na to, że
dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
tj.
Oznacza to, że
czyli
Po prawej stronie powyższej nierówności występuje stosunek kolejnych wyrazów zbieżnego szeregu harmonicznego a więc na mocy kryterium porównawczego wyjściowy szereg jest zbieżny.
W przypadku, gdy od pewnego wyrazu zachodzi nierówność to zachodzi także nierówność
więc na mocy kryterium porównawczego wyjściowy szereg jest rozbieżny, gdyż po prawej stronie powyższej nierówności występuje stosunek kolejnych wyrazów rozbieżnego szeregu harmonicznego
Dowód w oparciu o kryterium Kummera
Z rozbieżności szeregu harmonicznego wynika, że ciąg spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas
gdzie jest takie jak w wypowiedzi kryterium Kummera. Wynika stąd bezpośrednio kryterium Raabego.
Kryterium Raabego według Knoppa Knopp w swojej monografii podaje następującą wersję kryterium Raabego dla szeregu . Niech
Jeżeli
to szereg jest zbieżny. Jeżeli dla prawie wszystkich to szereg jest rozbieżny.
Kryteria te jednak nie są równoważne. Istotnie, w przypadku szeregu
ciąg
maleje do 1, a więc oryginalne kryterium Raabego nie rozstrzyga zbieżności. Z drugiej jednak strony,
rośnie do 1, a więc na mocy kryterium Raabego w wersji Knoppa, rozważany szereg jest rozbieżny.
Porównanie z kryterium d’Alemberta
Kryterium Raabego jest mocniejsze od kryterium d’Alemberta w następującym sensie. Jeżeli istnieje granica
i jest ona różna od to granica ciągu również istnieje oraz gdy gdy
Oznacza to, że jeżeli kryterium d’Alemberta rozstrzyga zbieżność danego szeregu o wyrazach nieujemnych, to tym bardziej rozstrzyga ją kryterium Raabego. Przykładem szeregu, którego zbieżność rozstrzyga kryterium Raabego, ale kryterium d’Alemberta już nie, jest
gdzie !! jest symbolem dwusilni. Istotnie, w tym przypadku
a zatem kryterium d’Alemberta się nie rozstrzyga o zbieżności. Z drugiej jednak strony
Ponieważ
z kryterium Raabego wynika zbieżność rzeczonego szeregu.
Porównanie z kryterium Schlömilcha
Kryterium Schlömilcha rozstrzyga o zbieżności szeregu wtedy i tylko wtedy, gdy o zbieżności rozstrzyga kryterium Raabego. Nie jest tak w przypadku stwierdzaniu rozbieżności szeregów.
Niech dany będzie szereg
Wówczas
tj. ciąg maleje do a więc kryterium Raabego nie rozstrzyga. Z drugiej jednak strony
dla dostatecznie dużych (zob. sformułowanie kryterium Schlömilcha), a więc rozważany szereg jest rozbieżny.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-15]. Raabe criterion , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Raabego