mały|Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”. mały|Logarytmy dlá szkół narodowych Ignacego Zaborowskiego, publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z 1787.
Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb liczba oznaczana będąca rozwiązaniem równania Taki logarytm został zdefiniowany przez Eulera. Liczba nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę aby otrzymać liczbę logarytmowaną .
Przykłady gdyż gdyż
Logarytmy po raz pierwszy opisali w XVI wieku matematycy: Szkot John Napier i Anglik Henry Briggs. Były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Natomiast Euler był pierwszym matematykiem, który przedstawił logarytmy liczb zespolonych. Historycznie praca Eulera na ten temat była pierwszą analizą funkcji przestępnej więcej niż jednej zmiennej.
Pozwalały zamienić mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.
Logarytm przy ustalonej podstawie pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną następująco:
Definicja formalna thumb|450px|schemat działania suwaka logarytmicznego pokazujący, jak dwie skale logarytmiczne pozwalają zamienić mnożenie na dodawanie
Logarytm jest działaniem zewnętrznym: zdefiniowanym równoważnością:
(zamiast stosuje się symbolikę ).
Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn. dla każdych istnieje liczba rzeczywista
Jest też odwrotnie: dla dowolnej liczby i dowolnej liczby istnieje dokładnie jedna liczba taka, że dla dowolnej liczby i dowolnej liczby istnieje dokładnie jedna liczba taka, że Oznacza to, że przy ustalonym lub ustalonym działanie jest różnowartościową suriekcją na zbiór
Logarytm binarny
Logarytm o podstawie równej 2.
Logarytm naturalny
Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą równą w przybliżeniu Zwyczajowo zamiast pisze się Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej dla której postaci
wtedy jej pochodna (również formalna) co oznacza, że zamiast ponieważ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.
Logarytm dziesiętny
Zapis bez indeksu albo oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:
Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.
Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym np.
Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:
Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie należy użyć logarytmu o podstawie
Własności Jeśli , przy czym: , , to dla logarytmów zachodzą następujące własności: Wzory redukcyjne
Funkcja odwrotna
Zamiana podstawy logarytmu
Monotoniczność i znak ZnakMonotonicznośćWykres bezramki bezramki
Logarytm liczby zespolonej Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:
gdzie: jest dowolną liczbą całkowitą, jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą), to argument liczby zespolonej to argument główny.
W szczególności dla liczb zespolonych:
Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych Przyjmując otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: Inni przeciwnie – wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.
Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:
gdzie: i są liczbami zespolonymi, i są dane wzorem .
Oczywiście zbiór wartości jest podwójnie indeksowany.
Kologarytm Liczbę przeciwną do logarytmu z nazywało się niegdyś kologarytmem i oznaczało lub Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.
Logarytm dyskretny
Logarytm dyskretny elementu (przy podstawie ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):
Przykłady i zastosowania Matematyka Skala logarytmiczna na wykresach – czasami rozpiętość przedstawianych wielkości jest tak duża, że nie wystarczy podziałka liniowa; por. Diagram HR w astronomii. Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Dlatego przydaje się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się równanie wykładnicze – np. do przewidzenia liczby rat kredytu albo czasu, kiedy rozpad promieniotwórczy doprowadzi do danego stężenia pierwiastka. Regresja liniowa: jeśli oczekiwana zależność między danymi jest potęgowa lub wykładnicza, to analizuje się liniową zależność między ich logarytmami. Prawo iterowanego logarytmu w probabilistyce, Wymiar Hausdorffa fraktali w topologii i teorii miary, Asymptotyczne wzrost funkcji pi w teorii liczb, W teorii informacji Claude Shannon wyraził entropię informacji przez logarytmy odpowiednich prawdopodobieństw. Algorytmika: wiele procedur ma złożoność logarytmiczną (np. wyszukiwanie binarne) lub liniowo-logarytmiczną, np. wiele algorytmów sortowania, Opis spirali logarytmicznej występującej w naturze,
Inne dziedziny Skala pH w chemii, skala Richtera w sejsmologii, Poziom natężenia dźwięku jest logarytmiczną funkcją natężenia dźwięku, Wysokość dźwięku jest logarytmiczną funkcją jego częstotliwości, Prawo Webera-Fechnera w psychologii i fizjologii percepcji, Prawo Fittsa w ergonomii, Jasność absolutna w astronomii, Logarytmiczny dekrement tłumienia w fizyce, np. w akustyce oraz w elektrotechnice, W fizyce statystycznej Ludwig Boltzmann wyraził entropię przez logarytm objętości w przestrzeni fazowej. Uogólnił w ten sposób makroskopową definicję entropii Clausiusa, Rozkład Benforda w statystyce i ekonomii, Wzór Ciołkowskiego opisujący ruch rakiety.
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Logarithm of a number , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05]. Steve Kelly, Logarithms, Explained , kanał TED-Ed na YouTube, 20 sierpnia 2012 [dostęp 2024-08-22].
Kategoria:Artykuły, które powinna mieć każda Wikipedia (od 10 do 30k)