Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda mówi o sposobie obliczania promienia zbieżności szeregu potęgowego.
Twierdzenie Mamy szereg potęgowy który jest zbieżny na przedziale Liczbę nazywamy promieniem zbieżności i obliczamy według wzoru [dostęp 2025-07-15].:
gdzie
Dowód Niech oraz Z kryterium Cauchy’ego mamy: jeżeli to szereg jest zbieżny bezwzględnie, czyli jeżeli to szereg jest rozbieżny, czyli
Zauważamy, że (o ile wolno dzielić przez ).
Jeżeli: czyli stąd dla czyli stąd wówczas Zatem jeżeli oraz Zakładamy teraz, że Z definicji kresu górnego Wtedy jednak co oznacza, że szereg jest rozbieżny, a to jest sprzeczne z założeniem, iż Tak więc
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Cauchy-Hadamard theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Cauchy’ego-Hadamarda