Rozszerzenie analityczne – metoda rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej. Dzięki tej metodzie udaje się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu.

Definicja Dane są dwie funkcje analityczne określone na obszarach i

Jeśli istnieje niepusty zbiór taki, że jest obszarem, dla każdego zachodzi równość

to można powiedzieć, że jest rozszerzeniem analitycznym i odwrotnie.

Zastosowanie Popularnym sposobem na definiowanie funkcji w analizie zespolonej jest jej określenie na niewielkim obszarze, a następnie jej poszerzenie przez zastosowanie przedłużenia analitycznego. W praktyce takie rozszerzenie jest wykonywane przez ustanowienie równania funkcyjnego na niewielkiej dziedzinie, które następnie jest zastosowane do rozszerzenia dziedziny. Przykładami mogą być funkcja dzeta Riemanna i funkcja Γ.

Początkowo zostało wprowadzone pojęcie przestrzeni nakrywającej aby zdefiniować naturalną dziedzinę przedłużenia analitycznego funkcji analitycznej. Pomysł znalezienia największego przedłużenia analitycznego funkcji doprowadził z kolei do rozwoju idei powierzchni Riemanna.

Przykład Szereg geometryczny Rozważmy funkcję

W klasycznym ujęciu przedstawia ona sumę szeregu geometrycznego o ilorazie Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego wynika, że funkcja jest określona tylko dla wartości:

Z drugiej strony sumę zbieżnego szeregu geometrycznego o ilorazie możemy zapisać jako

która jest określona dla wszystkich liczb zespolonych oprócz liczby 1:

Na obszarze obie funkcje są sobie równe, więc funkcję możemy traktować jako przedłużenie analityczne funkcji na obszar .

Wyniki uzyskiwane za pomocą funkcji teoretycznie umożliwiają obliczenie wartości szeregów rozbieżnych, np.:

W takich przypadkach problemem jest odpowiednia interpretacja wyników.

Zobacz też szereg 1 + 2 + 4 + 8 + … szereg Grandiego

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Analytic continuation , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23]. Analytic continuation into a domain of a function given on part of the boundary , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Kategoria:Analiza zespolona Kategoria:Topologia algebraiczna Kategoria:Metody sumowania