thumb|300px|Trójkąt asymptotyczny
Trójkąt asymptotyczny – figura utworzona przez dwa promienie równoległe i odcinek łączący ich początki.
Można go interpretować jako trójkąt, którego trzecim (poza początkami półprostych równoległych i ) wierzchołkiem jest punkt w nieskończoności odpowiadający pękowiRównoległość jest relacją równoważności. Z drugiej strony wiadomo (równoległość w geometrii hiperbolicznej), że promienie równoległe nieograniczenie się do siebie zbliżają. Dlatego można przyjąć, że promienie takie tworzą pęk promieni przechodzących przez punkt w nieskończoności. promieni równoległych do i
Boki i nazywamy bokami równoległymi trójkąta asymptotycznego, a bok – bokiem skończonym. Boki równoległe trójkąta asymptotycznego są półprostymi, czyli można powiedzieć, że ich długość jest nieskończona. Trzeci bok jest odcinkiem o skończonej długości. Stąd jego nazwa. thumb|300px|Trójkąt asymptotyczny w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej Z twierdzenia Bolyai wynika, że kąt trójkąta asymptotycznego w wierzchołku jest równy zero. Jeśli jeden z pozostałych kątów jest prosty, to taki trójkąt nazywamy trójkątem asymptotycznym prostokątnym. Drugi z pozostałych kątów jest wtedy ostry i nazywany jest kątem równoległości lub kątem Łobaczewskiego.
Własności Jeśli w trójkątach asymptotycznych i spełnione są równości i to Twierdzenie to jest analogiczne do cech przystawania trójkątów z geometrii absolutnej. Jeśli w trójkątach asymptotycznych i spełnione są równości i to Coxeter, op. cit., s. 314.. Suma kątów dodatnich trójkąta asymptotycznego jest mniejsza od 180°. Trójkąt asymptotyczny określają dwa jego dodatnie kąty. Dwa trójkąty asymptotyczne prostokątneTrójkąt asymptotyczny nazywamy trójkątem asymptotycznym prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest kątem prostym. mają ten sam kąt ostry wtedy i tylko wtedy, gdy ich boki skończone są równe. Wynika stąd, że istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie bokom skończonym trójkąta asymptotycznego kątów równoległości, gdzie x jest długością boku skończonegoJest to natychmiastowy wniosek z własności poprzedniej.. Trójkąt asymptotyczny ma pole skończoneCoxeter, op. cit., s. 318..
Zastosowanie graficzne thumb|200px|Parkietaż koła zrealizowany za pomocą trójkątów asymptotycznych w modelu konforemnym geometrii hiperbolicznej W tak zwanym modelu konforemnym geometrii hiperbolicznej punktami są punkty wnętrza koła, a proste są łukami okręgów prostopadłych do brzegu tego koła. Punkty brzegu koła są punktami w nieskończoności geometrii hiperbolicznej. Na ilustracji wszystkie elementy parkietażu koła są trójkątami asymptotycznymi, bo jeden z ich wierzchołków leży na okręgu ograniczającym koło. Na rysunku widać, dlaczego kąt przy wierzchołku w nieskończoności trójkąta asymptotycznego jest kątem zerowym. Oba łuki są prostopadłe do brzegu koła w tym samym punkcie, czyli są styczne do siebie. Podobne parkietaże były motywami grafik Mauritsa Eschera. Grafiki oparte na motywach geometrii hiperbolicznej rozpoznać można po tym, że elementy maleją wraz ze zbliżaniem się do brzegu koła.
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Strona internetowa poświęcona twórczości M.C. Eschera
Kategoria:Geometria hiperboliczna