Rozkład geometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w -tej próbie. musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).
Zmienna losowa X ma więc rozkład Geo(p) jeśli
Zauważmy, że jeśli X ma rozkład Geo(p), to Zatem jej dystrybuanta jest zadana wzorem dla liczb naturalnych k.
Uwaga: Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1.
Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla .
Ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy.
Momenty Funkcja tworząca prawdopodobieństwo zmiennej losowej X o rozkładzie Geo(p) jest zadana wzorem
Z tego otrzymujemy
oraz
z czego otrzymujemy
Wyższe momenty główne rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:
Momenty centralne rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty centralne. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:
Inne własności Rozkład geometryczny jest bezpamięciowym: jeśli ma rozkład Geo(p) i są liczbami naturalnymi, to
Związki z innymi rozkładami Jeśli są niezależne i mają rozkład Geo(p), to ich suma ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p) Jeśli są niezależne i mają rozkład Geo(p) to zmienna losowa ma rozkład geometryczny z parametrem
Zobacz też rozkład hipergeometryczny
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, Prawdopodobieństwo dla zmiennej geometrycznej, kanał Khan Academy na YouTube, 28 września 2025 [dostęp 2025-10-27].
Kategoria:Rozkłady dyskretne