Homomorfizm (gr. ὅμοιος, homoios – podobny; μορφή, morphē – kształt, forma) – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (np. monoid, grupę, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania, jakie są zdefiniowane w obu algebrach.

Homomorfizm bijektywny, nazywa się izomorfizmem algebr i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Ogólna definicja homomorfizmu Niech i oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie itp.), gdzie: są zbiorami, są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru (np. +, *, potęgowanie itp.), są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru odpowiadającymi działaniom w zbiorze liczby argumentów działania są równe liczbie argumentów działania

Funkcja przekształcającą zbiór w zbiór jest homomorfizmem algebry w algebrę jeśli dla wszystkich odpowiadających sobie działań oraz i dla każdego ciągu elementów zbioru zachodzi równość:

O funkcji mówi się, że przeprowadza każde działanie w odpowiadające mu działanie

Rodzaje homomorfizmów

Homomorfizm, który jest: iniekcją, nazywamy monomorfizmem, suriekcją, nazywamy epimorfizmem, bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem), odwzorowaniem struktury w samą siebie nazywamy endomorfizmem, wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.

Typy homomorfizmów Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją: homomorfizm grup, homomorfizm pierścieni, homomorfizm przestrzeni liniowych, homomorfizm modułów.

Homomorfizm grup Niech oraz oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie nazywamy homomorfizmem grupy w grupę jeżeli spełnione są warunki:

a)

tzn. jest funkcją ze zbioru w zbiór

b)

tzn. wynik działania wykonanego na wszystkich parach elementów zbioru i następnie odwzorowany do zbioru za pomocą funkcji jest równy wynikowi działania wykonanego na obrazach elementów (wynik ten jest na pewno elementem zbioru ponieważ operacja jest działaniem w ).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe na działanie

Twierdzenie Tw. Jeżeli jest homomorfizmem to

a) przekształca element neutralny działania w na element neutralny działania w tzn.

b) przekształca element odwrotny działania w na element odwrotny działania w tzn.

gdzie oznacza element przeciwny do elementu w zaś oznacza element przeciwny do w

Przykłady Homomorfizm pierścieni (1) Rozważmy dwa pierścienie:

a) pierścień liczb rzeczywistych z działaniami dodawania liczb i mnożenia liczb,

b) pierścień macierzy 2×2 (tj. zbiór macierzy 2×2) z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy.

(2) Definiujemy funkcję ze zbioru na zbiór macierzy

(3) Funkcja jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

2) zachowuje mnożenie

3) element neutralny dodawania w przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

4) element neutralny mnożenia w przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

Z powyższych własności wynika, że funkcja jest homomorfizmem ze zbioru do zbioru

Ponadto:

5) funkcja jest injekcją (funkcją różnowartościową), gdyż każdym dwóm elementom ze zbioru odpowiadają dokładnie dwa różne elementy ze zbioru Z powyższych własności wynika, że funkcja jest monomorfizmem zbiorów oraz

Brak homomorfizmu pierścieni Zbiory oraz są pierścieniami z działaniami dodawania i mnożenia liczb. Rozważmy funkcję która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł, tj.

Funkcja ta nie jest homomorfizmem, gdyż na ogół nie zachowuje dodawania, tj. na ogół

Np. niech Wtedy mamy:

ale

Homomorfizm grup Jeżeli ograniczymy odpowiednio wyżej omawiane zbiory, to możemy zdefiniować homomorfizm grup.

(1) Rozważmy zbiory niezerowych liczb zespolonych oraz niezerowych liczb rzeczywistych Zbiory te tworzą grupy z działaniami mnożenia liczb.

(2) Definiujemy funkcję która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł (który jest liczbą rzeczywistą)

(3) Funkcja jest homomorfizmem z w gdyż odtwarza działanie mnożenia w tj.

Homomorfizm monoidów thumb|283x283px|Homomorfizm z monoidu () do monoidu (), taki że: Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny. 1) Niech będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), taką że:

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż oraz

tzn. oraz

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny, tzn. nie wszystkim elementom monoidu (N, *, 1) będzie przypisany element monoidu (N, +, 0).

2) Niech oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania a oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz też antyhomomorfizm jądro homomorfizmu

Przypisy

Bibliografia T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 1–27.

Linki zewnętrzne Homomorphism , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

Kategoria:Morfizmy Kategoria:Algebra abstrakcyjna