Funkcja tworząca prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej – przedstawienie szeregu potęgowego (funkcji tworzącej) funkcji masy prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Funkcje tworzące prawdopodobieństwa są często wykorzystywane ze względu na ich zwięzły opis ciągu prawdopodobieństw w funkcji rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej oraz do połączenia z dobrze rozwiniętą teorią szeregów potęgowych z nieujemnymi współczynnikami.

Definicja formalna Przypadek jednowymiarowy Jeżeli jest dyskretną zmienną losową o wartościach ze zbioru nieujemnych liczb całkowitych to funkcja tworząca prawdopodobieństwo X jest definiowana jakohttp://web.archive.org/web/20080221192419/http://www.am.qub.ac.uk/users/g.gribakin/sor/Chap3.pdf

Indeksy w oznaczeniach i są często używane do podkreślenia, że te oznaczenia odnoszą się do konkretnej zmiennej losowej i do jej rozkładu. Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie co najmniej dla wszystkich liczb zespolonych takich że W wielu przykładach promień zbieżności jest większy.

Przypadek wielowymiarowy Jeśli jest dyskretną zmienną losową o wartościach w -wymiarowej kracie nieujemnych liczb całkowitych wtedy funkcję tworząca prawdopodobieństwa X jest zdefiniowana jako

gdzie jest funkcją masy prawdopodobieństwa Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie co najmniej na wszystkich złożonych wektorach z

Właściwości Szeregi potęgowe Funkcje tworzące prawdopodobieństwo spełniają wszystkie warunki szeregów potęgowych o współczynnikach nieujemnych. W szczególności, gdzie od dołu, ponieważ prawdopodobieństwa muszą sumować się do jedynki. Wynika z tego, że promień zbieżności każdej funkcji tworzącej prawdopodobieństwa musi być równy co najmniej 1 na mocy twierdzenia Abela dla szeregów potęgowych o nieujemnych współczynnikach.

Prawdopodobieństwa i wartości oczekiwane Następujące własności pozwalają na wyprowadzenie różnych podstawowych wielkości związanych z

1. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa można wyznaczyć za pomocą pochodnej

2. Z Własności 1 wynika, że jeśli zmienne losowe i mają równe funkcje tworzące prawdopodobieństwa, to To znaczy, że jeśli i mają funkcje tworzące prawdopodobieństwa, to mają identyczne rozkłady.

3. Normalizacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa może być wyrażona poprzez funkcje tworzące wzorem:

Wartość oczekiwana jest wyrażona jako

Bardziej ogólnie, -ty moment silni jest dany przez

Więc wariancja jest wyrażona przez

4. gdzie jest zmienną losową, funkcją tworzącą prawdopodobieństwa, a jest funkcją tworzącą momenty.

Funkcje niezależnych zmiennych losowych Funkcje tworzące prawdopodobieństwo są szczególnie przydatne przy zajmowaniu się funkcjami niezależnych zmiennych losowych. Na przykład: Jeśli jest ciągiem niezależnych (i niekoniecznie o identycznym rozkładzie) zmiennych losowych i

gdzie ai są stałymi, wtedy funkcja tworząca prawdopodobieństwa jest dana przez

Na przykład jeśli

to funkcja tworząca prawdopodobieństwa jest dana przez

Z powyższego wynika również, że funkcja tworząca prawdopodobieństwa różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest

Przypuśćmy, że jest także niezależną dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości nieujemnych liczb całkowitych, z funkcją tworzącą prawdopodobieństwa Jeśli są niezależnymi i o identycznych rozkładach ze wspólną funkcją tworzącą prawdopodobieństwa wtedy

Można to zobaczyć, stosując twierdzenie o całkowitej wartości oczekiwanej, jak następuje:

Ten ostatni fakt jest przydatny w badaniach procesu Galtona-Watsona.

Przypuśćmy znowu że jest także niezależną, dyskretna zmienną losową o wartości ze zbioru nieujemnych liczb całkowitych, z funkcją tworzącą prawdopodobieństwa Jeżeli są niezależnymi zmiennymi losowymi, ale nie o identycznych rozkładach, gdzie oznacza funkcję tworzącą prawdopodobieństwa wtedy

Dla o identycznych rozkładach to upraszcza się do tożsamości powyżej. Ogólny przypadek jest czasami przydatny do uzyskania dekompozycji poprzez funkcje tworzące.

Przykłady Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej stałej równej to znaczy jest

Funkcja tworząca prawdopodobieństwa dwumianowej zmiennej losowej, liczba sukcesów w próbach z prawdopodobieństwem sukcesu w każdej próbie, jest

Należy pamiętać, że jest to -krotny funkcji tworzącej prawdopodobieństwa losowej zmiennej Bernoulliego z parametrem

Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej dwumianowej ujemnej, liczba niepowodzeń które nastąpiły przed -tym sukcesem z prawdopodobieństwem sukcesu w każdej próbie, jest

Pamiętajmy że jest to -krotny produkt funkcji tworzącej prawdopodobieństwa geometrycznej zmiennej losowej.

Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej Poissona z parametrem skali jest

Pojęcia pokrewne Funkcja tworząca prawdopodobieństwa jest przykładem funkcji tworzącej ciąg: zobacz też formalne szeregi potęgowe. Jest to czasem nazywane transformatą Z funkcji masy prawdopodobieństwa.

Inne funkcje tworzące zmiennych losowych obejmują funkcję generowania momentów, funkcję charakterystyczną i funkcję tworzącą kumulanty.

Przypisy

Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa