mały|300px|Diagram Hassego przedstawiający podstawowe ciała liczbowe. Liczby nadrzeczywiste zaznaczono innym kolorem, ponieważ jako klasa właściwa spełniają tylko niestandardową, poszerzoną definicję ciała.

Ciało – typ struktury algebraicznej z dwoma działaniami; definiowany na kilka równoważnych sposobów, np. jako: przemienny pierścień z dzieleniem; dziedzina całkowitości z odwracalnością elementów.

Inne definicje podano niżej. Ciała formalizują własności algebraiczne liczb wymiernych czy rzeczywistych znanych od starożytności, jednak samodzielna teoria ciał pojawiła się w XIX wieku. Pomogła rozwiązać takie problemy jak: rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków); zajmuje się tym teoria Galois badająca ciała przez ich grupy automorfizmów; wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki).

Oprócz tego pojęcie ciała pojawia się w ogólnej definicji przestrzeni liniowej; przez to ciała definiują najogólniejsze pojęcia skalara.

Definicja Aksjomaty Ciało to struktura z działaniami i , nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, które mają mieć następujące własności: oba działania są łączne, przemienne i mają elementy neutralne; każdy element ma swój element odwrotny względem dodawania, a każdy element niezerowy – także element odwrotny względem mnożenia; mnożenie jest rozdzielne względem dodawania (por. 9. poniżej).

Element neutralny dodawania oznacza się przez 0, a element neutralny mnożenia oznacza się przez 1 i nazywa jedynką lub jednością. Czasem zakłada się, że 0 ≠ 1, czyli że ciało ma co najmniej dwa elementy Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 1: Grupy i ciała, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2023-02-21]. [dostęp 2024-03-25]..

Formalnie zapisuje się to przez dziewięć (9) aksjomatów – cztery (4) z nich dotyczą samego dodawania, cztery (4) samego mnożenia, a jeden (1) związku między nimi: +1.(łączność dodawania)2.(przemienność dodawania)3.(istnienie zera)4.(możliwość odejmowania)5.(łączność mnożenia)6.(przemienność mnożenia)7.(istnienie jedynki)8.(możliwość dzielenia)9.(rozdzielność mnożenia względem dodawania) Mówiąc krótko, ciałem nazywa się: pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny; grupę przemienną oznaczaną addytywnie, która po usunięciu zera tworzy grupę przemienną z innym działaniem (mnożeniem), rozdzielnym względem dodawania.

Aksjomat rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala rozróżniać działania mnożenia i dodawania – nie ma rozdzielności w „drugą stronę”. Dlatego wyrażenia postaci można zapisać prościej jako . Oznacza to, że mnożenie wiąże argumenty silniej niż dodawanie.

Rozbieżności nazewnicze W literaturze rosyjskiej i francuskiej ciała określa się terminami, które można dosłownie przetłumaczyć jako pole (, ) lub ciało przemienne (fr. corps commutatif). Ogólne pierścienie z dzieleniem – niewymagające przemienności mnożenia – określa się słowami, które w innych kontekstach tłumaczy się jako ciało: (), ; tłum. ros. 1969, s. 53..

Pojęcie ciała jako struktury nieprzemiennej można także spotkać w niektórych tłumaczeniach książek naukowych na język polski. Można wtedy mówić na przykład o ciele kwaternionów, tłum. ros., t. 1, s. 14.. Rosjanie twierdzenie Wedderburna wypowiadają prosto: Każde ciało skończone jest polem.

Przykłady mały|Liczby wymierne to przykład ciała przeliczalnego uporządkowanego liniowo. mały|Prosta rzeczywista – geometryczne przedstawienie ciała liczb rzeczywistych mały|Siedmiokąt foremny nie jest możliwy do narysowania przez konstrukcje klasyczne, o czym mówi twierdzenie Gaussa-Wantzela. Jest tak, ponieważ współrzędne jego wierzchołków nie należą do ciała liczb konstruowalnych. mały|Liczby zespolone to inny przykład ciała. Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że jest to ciało algebraicznie domknięte. mały|Płaszczyzna Fana to przykład struktury geometrycznej zbudowanej na ciele skończonym, konkretniej dwuelementowym.

Ciałami są między innymi niektóre rodzaje liczb: liczby wymierne; ich niektóre rozszerzenia: liczby konstruowalne, algebraiczne, rzeczywiste i p-adyczne ; niektóre rozszerzenia liczb rzeczywistych jak liczby zespolone czy hiperrzeczywiste.

Oprócz tego: funkcje wymierne o współczynnikach z dowolnego ciała również są ciałem; istnieją ciała skończone jak ciało Zp.

Ciało funkcji wymiernych wyróżnia się nieskończoną mocą przy dodatniej charakterystyce.

Algebraiczne własności ciała mają też liczby nadrzeczywiste, jednak nie tworzą one zbioru – są klasą właściwą.

Dzieje pojęcia Pojęcia ciała – bez nadawania mu nazwy – używał Évariste Galois, który sklasyfikował ciała skończone. Później Bernhard Riemann w 1857 badał ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności.

Nazwa ciało () pojawiła się po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, oznaczając zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało.

Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps (ozn. ciało). Używane teraz w języku angielskim słowo field (dosł. pole) wprowadzili zapewne algebraicy z USA Jeff Miller, Field [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-08-19]., którzy początkowo używali również nazwy realm (dosł. dziedzina, królestwo).

Własności Z definicji ciała wynika, że nie zawiera ono właściwych dzielników zera. Innymi słowy jest ono dziedziną całkowitości. W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy i całe ciało . Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia, a więc jest równy . Ciała skończone można sklasyfikować: każde z nich ma elementów, gdzie jest pewną liczbą pierwszą, a jest liczbą naturalną. Co więcej, ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne, czyli z punktu widzenia algebry mogą być uważane za jednakowe.

Podciała i rozszerzenia

Podciałem ciała nazywa się taki podzbiór ciała , który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z ).

Dowolny homomorfizm ciał jest zanurzeniem, gdyż:

a więc dla każdego .

Dla każdego ciała zawsze istnieje homomorfizm pierścieni . Jeżeli jest zanurzeniem, to najmniejsze podciało ciała zawierające pierścień jest izomorficzne z , a o mówi się, że jest charakterystyki zero. W przeciwnym wypadku, istnieje najmniejsza liczba naturalna taka, że i że jest ona liczbą pierwszą. Wówczas pierścień jest izomorficzny z ciałem reszt i mówi się, że ma charakterystykę równą .

Rozszerzenie ciała

Jeżeli jest podciałem ciała , to ciało nazywa się wtedy rozszerzeniem ciała i tę relację między ciałami oznacza się przez: . Charakterystyka jest równa charakterystyce i jest przestrzenią liniową nad .

Stopniem ozn. rozszerzenia nazywa się wymiar tej przestrzeni liniowej. Rozszerzenie nazywa się rozszerzeniem skończonym, gdy jego stopień jest skończony, i rozszerzeniem nieskończonym, gdy jego stopień jest nieskończony.

Część wspólna dowolnej rodziny podciał ciała jest jego podciałem; w szczególności dla każdego podzbioru istnieje najmniejsze podciało ciała . Jeśli jest podciałem ciała , a – podzbiorem, to najmniejsze podciało ciała zawierające i , oznacza się .

Część wspólna wszystkich podciał ciała nazywana jest podciałem prostym ciała . Podciało proste jest ciałem prostym.

Konstrukcje Ciało ułamków pierścienia całkowitego. jest ideałem maksymalnym pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest ciałem. Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu nierozkładalnego to pierścień ilorazowy Rozszerzenie ciała o element przestępny (ciało funkcji wymiernych zmiennej nad ciałem ) to ciało ułamków pierścienia wielomianów Jeśli ciało jest podciałem ciała natomiast jest podzbiorem to istnieje najmniejsze podciało ciała zawierające i jest ono częścią wspólną wszystkich podciał ciała zawierających i Każdy jego element jest ilorazem sum iloczynów element ciała razy iloczyn elementów zbioru Ultraprodukt ciał jest ciałem.

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Jerzy Browkin, Teoria ciał, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.

Linki zewnętrzne Paweł Lubowiecki, Struktury algebraiczne cz. IV Ciało, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07]. Field , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

Kategoria:Struktury dwóch działań wewnętrznych