Miara trywialna – miara przyporządkowująca każdemu zbiorowi mierzalnemu miarę zerową (zob. zbiór miary zero); równoważnie: miara jest trywialna wtedy i tylko wtedy, gdy miara całej przestrzeni jest równa zeru. Innymi słowy jest ona niezmiennicza (a więc quasi-niezmiennicza) dla dowolnej funkcji danej przestrzeni mierzalnej w siebie.
Własności Niech oznacza miarę trywialną określoną na pewnej przestrzeni mierzalnej która jest zarazem przestrzenią topologiczną taką, że jest σ-algebrą borelowską na Miara trywialnie spełnia warunek regularności miary. Miara nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na gdyż każdy zbiór mierzalny jest miary zero. Ponieważ to zawsze jest miarą skończoną, a stąd także lokalnie skończoną. Jeżeli jest przestrzenią Hausdorffa z jej σ-algebrą borelowską, to trywialnie spełnia warunek wewnętrznej regularności (ciasności/jędrności) miary. Wraz z powyższą własnością oznacza to, że jest wówczas miarą Radona. Istotnie, jest to wierzchołek stożka wszystkich nieujemnych miar Radona na Jeżeli jest nieskończeniewymiarową przestrzenią Banacha z jej σ-algebrą borelowską, to jest jedyną miarą na która jest zarazem lokalnie skończona i niezmiennicza ze względu na wszystkie przesunięcia (zob. uwaga). Jeżeli jest -wymiarową przestrzenią euklidesową wraz z jej zwykłą σ-algebrą oraz -wymiarową miarą Lebesgue’a to jest miarą osobliwą względem Wystarczy rozłożyć na oraz i zauważyć, że
Kategoria:Miary (teoria miary)