Grupa Mathieu – jedna z pięciu skończonych grup prostych odkrytych i opisanych przez francuskiego matematyka Émile’a Léonarda Mathieu w jego pracach z lat 1861Émile Léonard Mathieu, Mémoire sur l’étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables J. Math. Pures Appl. (Liouville) (2) VI, 1861, s. 241–323. i 1873E. Mathieu, Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités, „Liouville Journ.”, (2) XVIII, 1873, s. 25–47.; były to pierwsze odkryte sporadyczne grupy proste. Zwykle oznacza się je symbolami i można o nich myśleć jako o grupach permutacji zbiorów odpowiednio 11, 12, 22, 23, czy 24 elementów (punktów).
Czasami, do oznaczenia podobnych grup (działających odpowiednio na zbiorach 7-, 8-, 9-, 10-, 19-, 20- i 21-punktowych), mianowicie stabilizatorów punktów w większych grupach, stosuje się symbole oraz Choć nie są sporadycznymi grupami prostymi, podgrupy te są istotne ze względu na to, iż mogą służyć do konstruowania większych jest grupą trywialną, zaś nie działa przechodnio na zbiorze 19-punktowym i 19 nie dzieli jej rzędu, przez co ciąg ten nie może być dalej rozszerzany w dół.. Z drugiej strony John Conway zasugerował, że można rozszerzyć ten ciąg poprzez uogólnienie piętnastki, gdzie uzyskuje się podzbiór podgrupy symetrycznej zbioru 13-punktowego oznaczany John H. Conway, „Graphs and Groups and M13”, uwagi z nowojorskiego 14. dnia teorii grafów (1987), s. 18–29.
Największa z grup, która zwiera wszystkie inne, zawiera się w grupie symetrii kodu binarnego Golaya, który ma zastosowania praktyczne. Co więcej, grupy Mathieu stanowią fascynację wielu badaczy teorii grup jako anomalie matematyczne.
Historia Grupy proste definiuje się jako grupy bez nietrywialnych podgrup normalnych właściwych. Intuicyjnie oznacza to, że nie można ich rozbić na iloczyny mniejszych grup. Przez wiele lat dążono do sklasyfikowania grup prostych, aż wreszcie udało się to zrobić około 1980 roku. Grupy proste należą do wielu nieskończonych rodzin z wyjątkiem 26 grup, wśród których są także grupy Mathieu, nazywanych sporadycznymi grupami prostymi. Po opisaniu grup Mathieu nie udało się znaleźć nowych sporadycznych grup prostych aż do roku 1965, kiedy to odkryto grupę J1.
Grupy wielokrotnie przechodnie Mathieu był zainteresowany opisaniem grup permutacji wielokrotnie przechodnich (wielokrotnie tranzytywnych), które zostaną teraz zdefiniowane. Dla liczby naturalnej k grupa permutacji działająca na zbiorze n-punktowym jest k-przechodnia (k-tranzytywna), jeżeli dla danych dwóch zbiorów punktów oraz o takiej własności, że są różne i są różne, istnieje element grupy który odwzorowuje na dla każdego Taka grupa nazywana jest ściśle k-przechodnią (ściśle k-tranzytywną), jeżeli istnieje wyłącznie jeden element o tej własności (tzn. działanie na k-tkach jest regularne, a nie tylko przechodnie).
Grupa jest 5-przechodnia, zaś jest grupą ściśle 5-przechodnią, przy czym pozostałe grupy Mathieu (proste lub nie) są podgrupami odpowiadającym stabilizatorom zbiorów -punktowych o odpowiednio niższej przechodniości (M23 jest 4-przechodnia itd.).
Jedynymi grupami 4-przechodnimi są grupy symetryczne dla grupy alternujące dla i grupy Mathieu Pełny dowód wymaga klasyfikacji skończonych grup prostych, ale niektóre przypadki szczególne były znane przed jej opracowaniem.
Klasycznym wynikiem Jordana jest fakt, że grupy symetryczne i alternujące (odpowiednio stopni k i k – 2) oraz grupy i są jedynymi ściśle k-przechodnimi grupami permutacji dla k równych co najmniej 4.
Ważnymi przykładami grup wielokrotnie przechodnich są grupy 2-przechodnie i grupy Zassenhausa. Grupy Zassenhausa zawierają rzutową ogólną grupę liniową (ang. projective general linear group) prostej rzutowej nad ciałem skończonym, która jest ściśle 3-przechodnia (zob. dwustosunek) na zbiorze -elementowym.
Rząd i tabela przechodniości {| class="wikitable" style="border-spacing: 5pt 2pt" ! Grupa !! Rząd !! Rząd (iloczyn) !! Rozkład rzędu !! Przechodniość !! Prostota |- | || 244 823 040 || 3· 16 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24 || 210 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 || 5-przechodnia || prosta |- | || 10 200 960 || 3 · 16 · 20 · 21 · 22 · 23 || 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 || 4-przechodnia || prosta |- | || 443 520 || 3 · 16 · 20 · 21 · 22 || 27 · 32 · 5 · 7 · 11 || 3-przechodnia || prosta |- | || 20 160 || 3 · 16 · 20 · 21 || 26 · 32 · 5 · 7 · 11 || 2-przechodnia || prosta |- | || 960 || 3 · 16 · 20 || 26 · 3 · 5 || 1-przechodnia || nieprosta |- | || 48 || 3 · 16 || 24 · 3 || 0-przechodnia działa nietrywialnie, lecz nieprzechodnio na zbiorze 19-punktowym i ma rząd ponadto W istocie, ma 2 orbity: jedną rzędu 16, jedną rzędu 3 (2-podgrupa Sylowa działa regularnie na zbiorze 16-punktowym ustalając pozostałe 3, podczas gdy 3-podgrupa Sylowa permutuje 3 punkty ustalając orbitę rzędu 16). Szczegóły w ; s. 4. || nieprosta |- | colspan="5"| |- | || 95 040 || 8 · 9 · 10 · 11 · 12 || 26 · 33 · 5 · 11 || ściśle 5-przechodnia || prosta |- | || 7920 || 8 · 9 · 10 · 11 || 24 · 32 · 5 · 11 || ściśle 4-przechodnia || prosta |- | || 720 || 8 · 9 · 10 || 24 · 32 · 5 || ściśle 3-przechodnia || nieprosta |- | || 72 || 8 · 9 || 23 · 32 || ściśle 2-przechodnia || nieprosta |- | || 8 || 8 || 23 || ściśle 1-przechodnia || nieprosta |- | || 1 || 1 || 1 || ściśle 0-przechodnia || nieprosta
Konstrukcje grup Mathieu Grupy Mathieu mogą być skonstruowane na wiele sposobów.
Grupy permutacji Grupa ma podgrupę prostą rzędu będącą zarazem podgrupą maksymalną. Podgrupa ta może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków jedenastoelementowego ciała Jeżeli oznacza zaś – nieskończoność, to dwoma standardowymi generatorami są oraz Trzeci generator, dający odwzorowuje element ciała na w zapisie permutacyjnym jest to Stabilizatorem czterech punktów jest grupa kwaternionów.
Podobnie jest maksymalna podgrupa prosta rzędu która może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków ciała Jeden generator dodaje jedynkę do każdego z elementów (nie poruszając punktu N w nieskończoności), tzn. jest to
drugim jest permutacja odwracająca porządek,
Trzeci generator, dający odwzorowuje element ciała na nieciekawe obliczenia pokazują, że jako permutacja jest to element
Konstrukcje te są cytowane za CarmichaelemCarmichael, Robert D. Groups of Finite Order, Dover (1937, reprint 1956), s. 151, 164, 263.; Dixon i Mortimer przypisują permutacje MathieuJohn D. Dixon i Brian Mortimer Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), s. 209..
Grupy automorfizmów systemów Steinera Istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera (geometria Witta) typu Grupa jest grupą automorfizmów tego systemu Steinera; tzn. zbiór permutacji, które przekształcają każdy blok na inny. Podgrupy i są zdefiniowane jako stabilizatory odpowiednio jednego oraz dwóch punktów.
Podobnie, istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera typu a grupa jest jej grupą automorfizmów. Podgrupa jest stabilizatorem punktu.
M24 z PSL(3,4) Grupę można skonstruować wychodząc od jest to jedno z niezwykłych zjawisk matematyki.
Dobrym zaczątkiem dla jest rzutowa specjalna grupa liniowa (ang. projective special linear group) przestrzeni trójwymiarowej nad skończonym ciałem 4-elementowymJohn D. Dixon i Brian Mortimer Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), s. 192–205., oznaczana również która działa na płaszczyźnie rzutowej nad ciałem systemem typu oznaczany Jego 21 bloków nazywa się prostymi. Dowolne dwie proste przecinają się w jednym punkcie.
Grupa ma 168 podgrup prostych rzędu 360 i 360 podgrup prostych rzędu 168. W większej rzutowej ogólnej grupie liniowej (ang. projective general linear group) oba zbiory podgrup tworzą klasy sprzężoności, ale w oba zbiory rozpadają się na trzy klasy sprzężoności. Podgrupy mają odpowiednio orbity długości 6, nazywane hiperowalami, i orbity długości 7, nazywane podpłaszczyznami Fana. Zbiory te umożliwiają tworzenie nowych bloków dla większych systemów Steinera. jest normalna w indeksu 3. ma automorfizm zewnętrzny indukowany przez transponowanie elementów sprzężonych w (automorfizm ciała). Grupa może być więc rozszerzona do grupy rzutowych przekształceń półtoraliniowych, która jest rozszczepieniem przez grupę symetryczną Okazuje się, że można włożyć jako podgrupę maksymalną w R.L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998, s. 55.
Hiperowal nie ma takich trzech punktów, które byłyby współliniowe. Podpłaszczyzna Fana spełnia w podobny sposób odpowiednie warunki jednoznaczności.
Do należy dodać trzy nowe punkty i pozwolić automorfizmom ale nie automorfizmom na permutowanie nowych punktów. System typu powstaje przez dodanie jeszcze tylko jednego punktu do każdej z 21 prostych, a nowe bloki są 56 hiperowalami sprzężonymi ze względu na
System typu miałby 759 bloków lub oktad. Należy dołączyć do całości trzy nowe punkty do każdej prostej jeszcze jeden nowy punkt do podpłaszczyzn Fana w każdym ze 120 zbiorów i dołączyć odpowiednie pary nowych punktów do wszystkich hiperowali. Do pełnej liczby oktad brakuje 210. Brakujące oktady to podzbiory będące różnicami symetrycznymi par prostych. Istnieje wiele sposobów rozszerzenia grupy do
W12 Grupę W12 można skonstruować opierając się na geometrii afinicznej na przestrzeni liniowej system typu
Inną konstrukcją jest Kitten (dosł. kociak) R.T. CurtisaR.T. Curtis The Steiner System S(5,6,12), the Mathieu Group M12 and the ‘Kitten’, Computational Group Theory, Academic Press, Londyn, 1984..
Programy komputerowe Powstawały też warte uwagi programy komputerowe generujące systemy Steinera. Wprowadzenie do konstrukcji poprzez Miracle Octad Generator R.T. Curtisa i analog Conwaya dla miniMOG, można znaleźć w książce Conwaya i Sloane’aJohn Horton Conway; Sloane N.J.A. Sphere Packings, Lattices and Groups: v. 290 (Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften), Springer Verlag. ..
Grupa automorfizmów kodu Golaya Grupa jest zarazem grupą permutacji automorfizmów kodu binarnego Golaya tzn. grupą permutacji współrzędnych odwzorowujących na siebie. Słowa kodowe odpowiadają w naturalny sposób podzbiorom zbioru 24-elementowego. Wspomniane podzbiory odpowiadające słowom kodowym o 8 lub 12 współrzędnych równych 1 nazywane są odpowiednio oktadami i dodekadami. Oktady są blokami systemu Steinera a kod binarny Holaya jest przestrzenią liniową nad ciałem dwuelementowym rozpinanym przez oktady systemu Steinera. Pełna grupa automorfizmów kodu binarnego ma rząd gdyż istnieje permutacji i zmian znaków. Można to przedstawić jako permutacja i odbijanie współrzędnych wierzchołków 24-wymiarowej kostki.
Podgrupy proste i mogą być zdefiniowane jako podgrupy odpowiednio jako stabilizatory: jednej współrzędnej, uporządkowanej pary współrzędnych, dodekady i dodekady wraz z jedną współrzędną.
Grupa jest indeksu w swojej grupie automorizmów. Jako podgrupa grupa działa na drugiej dodekadzie jako obraz automorfizmów zewnętrznych swojego działania na pierwszej dodekadzie. jest podgrupą lecz nie Ta reprezentacja ma orbity 11- i 12-elementowe. Grupa automorfizmów jest podgrupą maksymalną indeksu 1288.
Istnieje naturalny związek między grupami Mathieu i większymi grupami Conwaya, gdyż tak kod binarny Golaya, jak i krata Leecha leżą w przestrzeniach wymiaru 24. Grupy Conwaya można z kolei znaleźć w grupie Monster. Robert Griess nazywa 20 grup sporadycznych, które można znaleźć w grupie Monster szczęśliwą rodzinką (ang. Happy Family), a grupy Mathieu – pierwszym pokoleniem (ang. first generation)R.L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998..
Dessins d’enfants Grupy Mathieu można skonstruować poprzez dessins d'enfants, z w roli dessin o sugestywnej nazwie „Monsieur Mathieu”.
Symetrie wielościanów thumb|Grupa M24 może być skonstruowana z symetrii kwadryki Kleina powiększonej o (niegeometryczną) symetrię jej zanurzenia jako szescioośmiościanu małego.