thumb|250px|Diagram Hassego dla aksjomatów oddzielania; aksjomaty wyżej są silniejsze, a linia oznacza wynikanie
Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.
W początkowym okresie rozwoju topologii niektóre z aksjomatów oddzielania były sugerowane jako jedne z warunków definiujących przestrzenie topologiczne. Na przykład Felix Hausdorff postulował, aby przestrzenie topologiczne spełniały warunek T2 (patrz poniżej).
W literaturze topologicznej występuje znaczna ilość własności, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Nie ma jednomyślności co do stosowanej terminologii i pewne nazwy mogą być używane w różnych znaczeniach. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce.
Ciąg główny aksjomatów oddzielania Wśród wielu własności oddzielania rozważanych w topologii specjalną pozycję zajmują aksjomaty oznaczane Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), a indeksy wskazują jak silną jest rozważana własność. Dość ogólnie akceptowaną regułą jest, że większa wartość indeksu wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta niepisana reguła ma także wpływ na większą jednoznaczność nazewnictwa i w zasadzie znaczenie każdego z aksjomatów jest ustalone.
Niech będzie topologią na zbiorze Powiemy, że przestrzeń topologiczna spełnia aksjomat: T0, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieje zbiór otwarty w który zawiera dokładnie jeden z tych punktów; T1, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieje zbiór otwarty taki, że ale T2, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieją rozłączne zbiory otwarte i takie, że i T3, jeśli spełnia aksjomat i dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie, że i T3 1/2, jeśli spełnia aksjomat i dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć funkcję ciągłą taką, że i dla wszystkich punktów T4, jeśli spełnia aksjomat i dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych (czyli ) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie, że i T5, jeśli każda podprzestrzeń przestrzeni spełnia aksjomat T6, jeśli spełnia aksjomat i każdy domknięty podzbiór jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
Często zamiast mówić „przestrzeń spełnia aksjomat ” mówimy po prostu, że jest Analogicznie dla pozostałych aksjomatów.
Własności i przykłady Każda przestrzeń metryczna jest Zachodzą następujące implikacje:
gdzie należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat spełnia także aksjomat . Żadna z powyższych implikacji nie może być zastąpiona przez równoważność. Aksjomaty są własnościami dziedzicznymi. Natomiast własność nie jest dziedziczna, co właśnie było powodem do wprowadzenia aksjomatu czyli dziedzicznej normalności. Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego własności są zaliczane do aksjomatów oddzielania: Przestrzeń T1 spełnia aksjomat wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów takich, że istnieją zbiory otwarte takie, że i
Przestrzeń T1 spełnia aksjomat wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów istnieje funkcja ciągła taka, że i
Linki zewnętrzne [dostęp 2026-01-14]. Separation axiom , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].