Twierdzenie o zbiorze wypukłym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że każdy niepusty zbiór domknięty i wypukły w przestrzeni Hilberta zawiera jeden i tylko jeden element o najmniejszej normie.

Wynik ten znajduje zastosowanie m.in. w dowodzie twierdzenia o rzucie ortogonalnym mającym swoje implikacje np. w rachunku prawdopodobieństwa (wykorzystywanym w jednym z dowodów istnienia warunkowej wartości oczekiwanej). Twierdzenie o zbiorze wypukłym lub, równoważnie, wynikające z niego twierdzenie najlepszej aproksymacji daje stosunkowo krótki dowód twierdzenia Brouwera o punkcie stałym dla dowolnego przekształcenia zwartego zbioru wypukłego w siebie (-wymiarowa przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią Hilberta).

Dowód Niech będzie niepustym, domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta zaś oznacza infimum norm elementów tego zbioru.

Jednoznaczność Niech będą dwoma elementami, które spełniają z (zachodzącej w ) reguły równoległoboku zastosowanej do wynika, że

a ponieważ jest wypukły, to czyli

co oznacza, iż gdyż prawa strona jest równa zeru.

Istnienie Z definicji istnieje ciąg spełniający z powyższej nierówności wynika inna,

która pociąga za sobą warunek Cauchy’ego dla ciągu a z zupełności jest dla pewnego elementu który należy do zbioru na mocy jego domkniętości (i niepustości); jest on poszukiwanym elementem o minimalnej normie, ponieważ

Aproksymacja i rzut

Powyższe twierdzenie można sformułować w nieco inny sposób uzyskując Twierdzenie o najlepszej aproksymacji Dla każdego istnieje jeden i tylko jeden element dla którego zachodzi

gdzie oznacza odległośćZob. metryka Hausdorffa. elementu od zbioru

Element nazywa się elementem najlepszej aproksymacji dla (tzn. najlepiej przybliżającym w sensie odległości). W twierdzeniu o zbiorze wypukłym aproksymowany jest w istocie element (ma on najniższą, zerową normę spośród elementów i jest to jedyny element o tej normie), wystarczy więc rozpatrzeć translację zbioru dla dowolnie wybranego elementu

Jednoznacznie wyznaczony element nazywa się też rzutem elementu na (domknięty i wypukły) zbiór i oznacza Od projekcja.. Jeśli jest domkniętym podzbiorem to wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zachodzi nierówność

Nazwa „rzut” (i oznaczenie ) bierze się z tego, że odwzorowanie jest odwzorowaniem zwężającym, a stąd ciągłym, a ponadto jest idempotentne na tj. co oznacza, że odwzorowanie to jest retrakcją.

Uwagi

Przypisy

Bibliografia Julian Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, s. 79–80

Kategoria:Zbiory wypukłe o zbiorze wypukłym