Przestrzeń refleksywna – przestrzeń unormowana o tej własności, że kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną
dane wzorem
jest suriektywne (a zatem z izometryczności, jest ono wówczas izometrycznym izomorfizmem).
Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście przestrzeni lokalnie wypukłych, zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.
Przykłady Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna, co wynika z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału (zob. dowód). Dla każdego i dowolnej miary przestrzeń Lp(μ) jest refleksywna. Przestrzeń Tsirelsona jest refleksywna. Istnieją przestrzenie unormowane liniowo izometryczne ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, które nie są refleksywne – historycznie pierwszym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń Jamesa (przestrzeń ilorazowa jest jednowymiarowa).
Własności Przestrzenie refleksywne są zupełne (są przestrzeniami Banacha), twierdzenie to wynika z twierdzenia Banacha-Steinhausa. W przestrzeni refleksywnej każdy zbiór domknięty, ograniczony i wypukły jest słabo zwarty, tzn. przestrzenie refleksywne ze słabą topologią mają własność Heinego-Borela. Prawdziwe jest także twierdzenie ogólniejsze, mówiące, że przestrzeń unormowana jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej domknięta kula jednostkowa jest słabo zwarta (dowód tego faktu wykorzystuje twierdzenie Goldstine’a). Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni refleksywnej jest refleksywna. Ponadto, przestrzeń jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej ośrodkowa domknięta podprzestrzeń jest refleksywna. Przestrzeń Banacha jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest refleksywna. Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć. Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią refleksywną jest przestrzenią refleksywną. Używając twierdzenia Eberleina-Szmuljana, można wykazać, że w przestrzeni refleksywnej każdy ograniczony ciąg jej punktów ma podciąg słabo zbieżny. Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna, lecz nie odwrotnie – przykładem jest przestrzeń ℓ1.
Twierdzenie Jamesa
Twierdzenie Jamesa mówi, że przestrzeń Banacha jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony funkcjonał liniowy na osiąga swoją normę na (domkniętej) kuli jednostkowej, tj. istnieje taki element o normie 1, że
Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.
Twierdzenie Milmana-Pettisa
Twierdzenie Milmana-Pettisa mówi, że każda jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilberta, przestrzenie Lp(μ) dla są refleksywne).
Twierdzenie Phillipsa Przestrzeń nazywa się: gładką, gdy dla każdego takiego elementu przestrzeni że istnieje dokładnie jeden taki element przestrzeni że oraz silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w
Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej (a więc w konsekwencji przestrzeni ) a jej własnością Radona–Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela: {| style="text-align: left; width: 50%; margin: 0 auto; border-collapse: collapse;" border="1" cellpadding="4" |- style="background: #AABBCC;" !width="50%"| jest refleksywna jeśli: !width="50%"| ma własność Radona–Nikodýma jeśli: |- |bgcolor="#FFFFFF"| jest ściśle wypukła |bgcolor="#DFEFFG"| |- |bgcolor="#FFFFFF"| jest gładka (ang. smooth) |bgcolor="#DFEFFG"| jest ściśle wypukła. |- |bgcolor="#FFFFFF"| jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła |bgcolor="#DFEFFG"| jest gładka |- |bgcolor="#FFFFFF"| jest silnie gładka (ang. very smooth) |bgcolor="#DFEFFG"| jest słabo lokalnie jednostajnie wypukłaJ. Diestel, B. Faires, On vector measures, Trans. Amer. Math. Soc. 198 (1974), 253–271. |- |bgcolor="#FFFFFF"| jest jednostajnie wypukła |bgcolor="#DFEFFG"| jest silnie gładka
Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana SingeraI. Singer, Some characterizations of reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 166–168.: Jeśli jest silnie wypukła oraz zawiera właściwą podprzestrzeń liniową dla której odwzorowanie kanoniczne jest izometrią, to jest przestrzenią refleksywną.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Reflexive space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Przestrzenie Banacha