Problem bazylejski – zagadnienie w analizie matematycznej, konkretniej w jej podstawowym dziale, czyli analizie rzeczywistej. Polega on na obliczeniu sumy pewnego szeregu – konkretnie sumy odwrotności wszystkich dodatnich liczb kwadratowych:
Problem ten postawiono najpóźniej w XVII wieku, a rozwiązano w następnym stuleciu. Odpowiedź zawiera liczbę pi:
Historia Problem ten ogłosił włoski matematyk Pietro Mengoli w 1644 roku. Przez blisko 100 lat nieskutecznie próbowali go rozwiązać czołowi matematycy tamtych czasów, m.in. ród Bernoullich. Zadaniu podołał Leonhard Euler w 1735 roku – miał wówczas 28 lat i zdobył natychmiastową sławę. W swojej argumentacji użył pewnych zabiegów, które wedle ówczesnej wiedzy nie były w pełni uprawnione. Ściślejszy dowód podał w roku 1741.
Nazwa problemu bazylejskiego pochodzi od Bazylei – rodzinnego miasta Bernoullich i Eulera.
Dowód Eulera Euler w swoim dowodzie rozszerzył obserwacje dotyczące skończonych wielomianów, uznając, że te same właściwości mają wielomiany nieskończone. Jego założenia wymagają uzasadnienia, jednak Euler uznał, że jeżeli jego wynik jest zgodny z wynikiem uzyskanym obliczeniowo, to wystarczy, by ogłosić rezultat swojej pracy w środowisku matematycznym.
Dowód Eulera opierał się na rozwinięciu w szereg Taylora funkcji sinus:
Dzieląc stronami przez x otrzymujemy:
Miejsca zerowe funkcji występują w gdzie
Załóżmy teraz, że możemy wyrazić ten szereg potęgowy jako iloczyn czynników liniowych, tak jak to robimy ze skończonymi wielomianami:
Gdybyśmy przemnożyli ten iloczyn i zebrali wszystkie składniki zawierające zobaczylibyśmy, że współczynnik przy drugiej potędze rozwinięcia jest równy:
Jednak w oryginalnym rozwinięciu funkcji w szereg, współczynnik przy jest równy −1/(3!) = −1/6. Te dwa współczynniki muszą być sobie równe, zatem:
Mnożąc stronami przez otrzymujemy ostateczny wynik:
Q.e.d.
Uogólnienia Euler uogólnił pierwotne zagadnienie. Jego pomysły podjął w 1859 roku Bernhard Riemann w pracy Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Zdefiniował tam funkcję dzeta (ζ) i udowodnił jej podstawowe własności.
Bibliografia Number Theory: An Approach Through History, Andre Weil, Springer, . Euler: The Master of Us All, William Dunham, MAA, .
Proofs From the Book, Martin Aigner, Gunter Ziegler, Springer, . Riemann’s Zeta Function, Harold M. Edwards, Dover, .
Linki zewnętrzne
Jarosław Górnicki, Od bzdury do bingo! (PDF), rocznik „Matematyka – Społeczeństwo – Nauczanie”, Ośrodek Kultury Matematycznej – Uniwersytet w Siedlcach (OKM UwS) [dostęp 2026-02-09].
Grant Sanderson, Why is pi here? And why is it squared? A geometric answer to the Basel problem, kanał 3blue1brown na YouTube, 2 marca 2018 [dostęp 2021-03-14].
Kategoria:Szeregi liczb rzeczywistych