Wielomian nieprzywiedlny (nierozkładalny) – wielomian dodatniego stopnia (o współczynnikach z pierścienia całkowitego), który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch wielomianów dodatniego stopnia (o współczynnikach ze wspomnianego pierścienia). Wielomiany, które nie są nieprzywiedlne nazywa się przywiedlnymi.
Dostrzeżenie nieprzywiedlnych wielomianów stopnia wyższego niż jeden o współczynnikach całkowitych było impulsem do badań nad liczbami algebraicznymi, czyli pierwiastkami wielomianów o współczynnikach wymiernych.
Definicja Dany wielomian , dodatniego stopnia (jednej zmiennej) o współczynnikach z pierścienia całkowitego nazywa się (wielomianem) nieprzywiedlnym w (pierścieniu) , wtedy i tylko wtedy, gdy: nie istnieją takie wielomiany , dodatniego stopnia o współczynnikach z , dla których byłaby spełniona następująca równość wielomianów: .
Własności i przykłady Wielomiany stopnia pierwszego są nieprzywiedlne w każdym pierścieniu wprost z definicji.
W przypadku gdy pierścień współczynników wielomianów tworzy ciało (np. liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych), pojęcie rozkładalności/nierozkładalności w pierścieniu wielomianów pokrywa się z pojęciem przywiedlności/nieprzywiedlności w pierścieniu współczynników. W przypadku ogólnym, gdy pierścień współczynników jest pierścieniem całkowitym, pojęcia te są istotnie różne.
Przykład. Wielomian zmiennej o współczynnikach całkowitych jest nieprzywiedlny (jako wielomian pierwszego stopnia), lecz rozkładalny w pierścieniu na czynniki oraz , z których żaden nie jest odwracalny. Wynika to z faktu, że definicja nieprzywiedlności wielomianu wymaga braku możliwości rozkładu na czynniki o stopniach dodatnich, podczas gdy stała jest wielomianem stopnia zerowego.
Wielomian nieprzywiedlny w danym ciele (pierścieniu), może być przywiedlny w jego rozszerzeniu (przywiedlność nie jest zatem własnością niezmienniczą rozszerzeń), przykładowo wielomian jest nieprzywiedlny w pierścieniu liczb całkowitych (jak również liczb wymiernych), choć jest przywiedlny w ciele liczb rzeczywistych, gdyż .
Jeśli ciało współczynników jest algebraicznie domknięte, wielomiany pierwszego stopnia są jedynymi wielomianami nieprzywiedlnymi w tym ciele; na odwrót: jeżeli wielomiany pierwszego stopnia są jedynymi wielomianami nieprzywiedlnymi w danym ciele, to jest ono algebraicznie domknięte.
Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Stąd dowolny wielomian co najmniej drugiego stopnia jest przywiedlny w ciele liczb zespolonych (rozkładalny w pierścieniu wielomianów o współczynnikach zespolonych). W szczególności nieprzywiedlny w ciele liczb rzeczywistych wielomian zmiennej jest przywiedlny w ciele liczb zespolonych, ponieważ , gdzie jednym z pierwiastków tego wielomianu jest jednostka urojona.
Zobacz też Kryterium Eisensteina Twierdzenie Gaussa
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Kategoria:Rodzaje wielomianów