Rozkład zero-jedynkowy – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej przyjmującej tylko dwie wartości: 1 z prawdopodobieństwem oraz 0 z prawdopodobieńswem .
Formalnie, jeśli pojedyncze doświadczenie losowe, zwane próbą Bernoulliego, może zakończyć się jednym z dwóch wzajemnie wykluczających się wyników, to zmienna losowa opisująca to doświadczenie przypisuje zdarzeniom elementarnym konkretne wartości liczbowe:
zajściu zdarzenia („sukces”) przypisuje się wartość , co zapisujemy ; zajściu zdarzenia przeciwnego („porażka”) przypisuje się wartość 0:
Rozkład zero-jedynkowy jest szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego (w rozkładzie dwupunktowym zmienna losowa przypisuje wynikom doświadczenia dwie dowolne wartości liczbowe, niekoniecznie równe i ).
Uwaga:
W krajach anglojęzycznych rozkład ten nazywany jest Bernoulli distribution. Również w niektórych polskich źródłach rozkład zero-jedynkowy nazywany jest rozkładem Bernoulliego. W starszym polskim piśmiennictwie jednak rozkładem Bernoulliego nazywano rozkład dwumianowy.
Wartość oczekiwana Wartość oczekiwana rozkładu zero-jedynkowego wyraża się wzorem:
Dowód:
Wartość oczekiwana zmiennej dyskretnej jest sumą ważoną iloczynów wartości , jakie przyjmuje zmienna losowa , mnożonej przez prawdopodobieństwa wystąpienia wartości , , tj. . Dla zmiennej zero-jedynkowej mamy
. Stąd: cnd.
Wariancja Wartość oczekiwana rozkładu zero-jedynkowego wyraża się wzorem:
Funkcja charakterystyczna Funkcja charakterystyczna rozkładu zero-jedynkowego wyraża się wzorem:
gdzie – jednostka urojona.
Dystrybuanta mały|Funkcja masy prawdopodobieństwa (PMF) oraz dystrybuanta (CDF) rozkładu zero-jedynkowego.|300x300px|tło Dystrybuanta zmiennej losowej w punkcie jest zdefiniowana jako prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmuje wartość nie większą niż , tj.
Dystrybuanta rozkładu zero-jedynkowego ma postać
Oznacza to, że dystrybuanta ta jest funkcją skokową o skokach wielkości w punkcie oraz w punkcie (por rysunek).
Przykład: Rzut kością do gry thumb|Dwie standardowe kości sześcienne ze ściętymi rogami|tło|300x300px Przykładem doświadczenia losowego, które można opisać za pomocą rozkładu zero-jedynkowego, jest rzut kostką: jeżeli za sukces uznamy zdarzenie polegające na wypadnięcie szóstki, a za porażkę zdarzenie przeciwne polegające na wypadnięcie pozostałej liczby oczek, to zmienna losowa przyjmuje wartości takie że:
a jej rozkład prawdopodobieństwa ma postać:
.
W przypadku symetrycznej kostki prawdopodobieństwo wyrzucenia oczek wynosi , a prawdopodobieństwo wyrzucenia lub oczek wynosi . Rozkład prawdopodobieństwa ma wtedy postać:
, . Wartość oczekiwana i wariancja w tym doświadczeniu wynoszą:
a funkcja charakterystyczna ma postać:
Uwaga: Funkcja charakterystyczna jednoznacznie wyznacza rozkład, tzn. z postaci funkcji charakterystycznej jednoznacznie wiadomo, że dotyczy ona rozkładu zero-jedynkowego oraz jakie wartości mają parametry i ; pochodne w punkcie pozwalają wyznaczać momenty, takie jak wartość oczekiwana i wariancja. Zobacz też
dyskretny rozkład prawdopodobieństwa ciągły rozkład prawdopodobieństwa
Przypisy
Bibliografia
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, cz. I Rachunek prawdopodobieństwa, str. 82-83. Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str.167.
Linki zewnętrzne
. Weisstein E. W, Rozkład zero-jedynkowy Univariate Distribution Relationships - Interaktywna mapa po rozkładach prawdopodobieństwa i ich wzajemnych relacjach
Kategoria:Rozkłady dyskretne