Charakterystyka Eulera, charakterystyka Eulera-PoincarégoRed. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ; s. 44, Definicja 9.1.Red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ; s. 43–48. – niezmiennik topologiczny początkowo definiowany jedynie dla wielościanów wypukłych.
Powierzchnie wielościanów wypukłych thumb|200px|Najprostszy podział torusa, pozwalający obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu ). Wprowadźmy oznaczenia: – liczba wierzchołków, – liczba ścian, – liczba krawędzi.
Charakterystykę Eulera, oznaczaną tradycyjnie literą dla powierzchni wielościanów wypukłych definiuje się jako:
Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach, co oznacza, że zachodzi wzór:
Charakterystyka Eulera powierzchni wielościanów wypukłych wynosi zatem
Własność ta została po raz pierwszy zauważonaM. Friedman, A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins. (jedynie dla brył platońskich) w 1537 roku przez Francesco Maurolico w jego nieopublikowanym manuskrypcie. Następnie, dla wielościanów wypukłych własność tę zauważył Euler. Pierwszy poprawny dowód jej prawdziwości podał LegendreD.S. Richeson, Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton Univ. Press (2008)..
Wielościany dowolne Ta sama definicja (czyli ) obowiązuje także dla innych wielościanów. Każda powierzchnia wielościanu homeomorficzna z powierzchnią wielościanu wypukłego ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdą dla wszystkich powierzchni wielościanów: wszystkie powierzchnie wielościanów homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których „przechodzi dokładnie jedna dziura”) mają charakterystykę równą 0.
Definicja ogólna Niech będzie przestrzenią topologiczną. Jej charakterystykę Eulera definiujemy jakoE.H. Spanier, Topologia algebraiczna, Warszawa (1972).
gdzie jest rangą -tej grupy homologii (tj. -tą liczbą Bettiego) przestrzeni Definicja ta ma sens jedynie wtedy, gdy wszystkie liczby Bettiego oraz ich suma są skończone.
W przypadku, gdy jest skończonym CW-kompleksem, to jego charakterystyka Eulera jest równa
gdzie oznacza liczbę komórek wymiaru W szczególności, w przypadku kompleksów symplicjalnych oznacza liczbę -wymiarowych sympleksów.
Powierzchnie Aby obliczyć charakterystykę Eulera powierzchni (jak i innych, wyżej wymiarowych wielościanów) wystarczy znaleźć jej rozkład komórkowy. Np. dla sfery wystarczy jedna komórka 0-wymiarowa oraz jedna wymiaru 2. Przedstawienie sfery w postaci wielościanu wymaga co najmniej 4 ścian, 4 wierzchołków oraz 6 krawędzi. Nazwa powierzchni Wygląd Charakterystyka Eulera Sfera 100px 2 Torus 100px 0 Wstęga Möbiusa (z brzegiem) 100px 0 Butelka Kleina 100px 0 Płaszczyzna rzutowa rzeczywista bezramki|100x100px 1 Dwie sfery (niepołączone) 200x200px 2 + 2 = 4 niepołączonych sfer
Uogólnienia Jeżeli jest skończonym wielościanem, to jest równa liczbie Lefschetza identyczności Niech będzie skończoną kategorią. Tj. taką, że liczba morfizmów (a więc i obiektów) jest skończona. Oznaczmy przez jej obiekty. Z taką kategorią możemy stowarzyszyć macierz wymiaru gdzie jest liczbą morfizmów Jeżeli istnieją takie że to Powyższą sumę nazywamy charakterystyką Eulera kategorii Jest ona liczbą wymierną. Jeżeli przestrzeń klasyfikująca kategorii jest skończonym wielościanem, to jego charakterystyka Eulera jest równaT. Leinster, The Euler characteristic of a category, Documenta Mathematica, 13 (2008) s. 21–49.
Aksjomatyzacja Charakterystykę Eulera można zdefiniować również aksjomatycznie. Dokładniej, zredukowana charakterystyka Eulera (tj. charakterystyka minus 1) jest jedynąCh. Watts, On the Euler Characteristic of Polyhedra, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962), 304-306. całkowitoliczbową funkcją określoną na zbiorze klas homeomorfizmów skończonych wielościanów (z punktem bazowym) spełniającą warunki:
dla dowolnej pary wielościanów
Zobacz też genus, niezmiennik powiązany z Ch. Eulera krzywizna Gaussa
Przypisy
Linki zewnętrzne
[dostęp 2023-06-18].
Kategoria:Parametry topologiczne Kategoria:Topologiczna teoria grafów