Ciało uporządkowane – ciało w którym wyróżniony jest podzbiór elementów dodatnich o następujących własnościach: zbiór jest sumą trzech zbiorów rozłącznych: zbiór jest zamknięty ze względu na dodawanie: zbiór jest zamknięty ze względu na mnożenie:

gdzie oraz W książce E. Artina Algebra geometryczna nie zakłada się przemienności mnożenia w ciele..

Można to wypowiedzieć tak: ciało uporządkowane, to takie ciało, w którym jest określona własność bycia elementem dodatnim (większym od zera, oznaczana przez > 0) o następujących własnościach: Dla każdego ma miejsce jedna z trzech zależności: Jeśli i to Jeśli i to >0.

zapis oznacza, że Mówimy wtedy, że jest większy od zera., a zapis oznacza, że Mówimy wtedy, że jest mniejszy od zera i zapisujemy to . zapis oznacza, że Mówimy wtedy, że jest większy od .

Własności Dla każdych dwóch elementów albo albo albo Zatem relacja > porządkuje liniowo ciało Jeśli i to Dowód: i to czyli a stąd Jeśli i to Dowód: Dlatego Jeśli i to Dowód: bo jeśli to co jest sprzeczne z założeniem. Jeśli to co jest sprzeczne z założeniem. Dlatego Jeśli i to Dla każdego niezerowego elementu ciała zachodzi nierówność W szczególności czyli ciało uporządkowane musi być ciałem o charakterystyce 0. Jeśli to Dowód: i dlatego Jeśli to Dowód:

Przykłady Istnieje nieprzemienne ciało uporządkowaneE. Artin, op. cit., s. 66–70.. Naturalnymi przykładami ciał uporządkowanych są ciała liczb wymiernych i rzeczywistych. Przykłady ciał, które nie mogą być ciałami uporządkowanymi: ciało liczb zespolonych, Dowód: gdyby było ciałem uporządkowanym, to dla niezerowego znaki liczb oraz byłyby identyczne. Tymczasem dowolne ciało skończone.

Ciała archimedesowe W każdym ciele charakterystyki 0 zanurzony jest pierścień liczb całkowitych Ciało uporządkowane jest ciałem charakterystyki 0. Ciało uporządkowane nazywamy ciałem archimedesowym, jeśli dla każdego elementu istnieje taka liczba całkowita że E. Artin, op. cit., s. 70.. Każde ciało archimedesowe jest podciałem ciała liczb rzeczywistych z naturalnym uporządkowaniem. W szczególności jest ono przemienneE. Artin, op. cit., s. 71.. Ciało liczb rzeczywistych może być uporządkowane tylko w jeden sposób.

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne Ordered field , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06].

Kategoria:Rodzaje ciał Kategoria:Porządki