Twierdzenie Radona-Nikodyma – twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałów na przestrzeniach mierzalnych, czyli miar. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Ottona M. Nikodýma w 1930 r.
David Fremlin opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary ..
Oznaczenia i podstawowe definicje jest dowolnym zbiorem, natomiast jest σ-ciałem jego podzbiorów. Na σ-ciele ustalone są z kolei pewne funkcje Funkcja nazywana jest σ-addytywną, jeśli dla każdego ciągu parami rozłącznych zbiorów spełniony jest warunek
Jeśli jest miarą oraz jest σ-addytywną funkcją zbiorów, to mówi się, że jest bezwzględnie (absolutnie) ciągła względem (ozn. ), gdy dla każdego spełniony jest warunek
Twierdzenie Radona-Nikodýma Niech będzie σ-addytywną funkcją zbioru oraz będzie miarą σ-skończoną. Jeśli jest absolutnie ciągła względem to istnieje taka funkcja (zob. przestrzeń Lp), że dla thumb|500px|Ilustracja konieczności założenia absolutnej ciągłości miar – nośniki miar są oznaczone jako i Miary mają wartość 0 na zbiorach poza swoimi nośnikami. Całka po zbiorze A względem miary jest równa 0, bo leży on poza jej nośnikiem; z kolei więc twierdzenie nie może być spełnione. Konieczne jest więc założenie czyli po prostu
Funkcja wyznaczona -prawie wszędzie, nazywana jest pochodną Radona-Nikodýma funkcji względem i oznaczana jest symbolem
Własności Jeżeli jest σ-addytywną funkcją zbiorów bezwzględnie ciągłą względem oraz to
o ile stale lub stale dla liczb rzeczywistych
Twierdzenie o zamianie miary Pod założeniami twierdzenia Radona-Nikodýma, jeżeli oraz to oraz
Zobacz też twierdzenie Hahna o rozkładzie twierdzenie Riesza-Skorochoda
Przypisy
Bibliografia
Radona-Nikodýma