mały|Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej mająca trzy punkty stałe
Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie – argument funkcji, dla którego jej wartość jest mu równa. Formalnie: jeśli jest zbiorem, a funkcją na nim, to jej punktem stałym jest każdy element spełniający równanie Słownik teorio-mnogościowy, Katedra Podstaw Informatyki – Wydział Informatyki i Telekomunikacji Politechniki Wrocławskiej (WIT PWr), cs.pwr.edu.pl [dostęp 2025-05-13].:
Nie musi to być punkt w sensie geometrycznym; punktem stałym może być liczba, wektor, ciąg, macierz, inna funkcja, figura lub inny zbiór. Ogół wszystkich punktów stałych danej funkcji oznacza się:
W różnych dziedzinach matematyki jak algebra, analiza czy topologia udowodniono twierdzenia o punkcie stałym gwarantujące istnienie takich argumentów dla pewnych typów funkcji. Tak powstała cała dyscyplina poświęcona tego typu zagadnieniom: teoria punktu stałego.
Istnieją uogólnienia tego pojęcia jak: punkt okresowy definiowany dla dowolnej funkcji wewnątrz zbioru; wektor własny określony dla endomorfizmów liniowych i macierzy kwadratowych.
Zastosowania Część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktów stałych. Przykłady to: szukanie optymalnych rozwiązań w teorii gier (zastosowania w ekonomii), istnienie rozwiązań pewnych równań różniczkowych, szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów częściowo uporządkowanych (zastosowania w informatyce) pewne zagadnienia teorii układów dynamicznych i teorii chaosu.
Także rozwiązywanie układu równań, np. liczbowych, sprowadza się do szukania punktu stałego pewnej funkcji. Dokładniej, niech będzie przestrzenią liniową (np. lub ) oraz Punkt jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania
Zobacz też nieporządek palindromy – punkty stałe odwrócenia (inwersji) ciągu własność punktu stałego
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-10-10]. Fixed point , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10]. Michael Stevens, Fixed Points, kanał Vsauce na YouTube, 28 września 2016 [dostęp 2021-03-15].