Graf Mycielskiego lub Mycielskian nieskierowanego grafu G – graf μ(G) stworzony dzięki konstrukcji podanej przez Jana Mycielskiego w roku 1955, pokazującej istnienie grafu, w którym największa klika ma rozmiar ≤ 2, o bezwzględnie dużej liczbie chromatycznej.

Uogólniona wersja konstrukcji została przedstawiona przez Wensonga Lin w roku 2006.

Konstrukcja thumb|360px| Graf Grötzscha jako Mycielskian 5-grafu cyklicznego Niech n wierzchołków grafu G będzie oznaczonych v0, v1, ..., vn−1. Graf Mycielskiego μ(G) zawiera graf G jako izomorficzny podgraf oraz n+1 dodatkowych wierzchołków: ui odpowiadające wierzchołkom vi oraz wierzchołek w. Każdy wierzchołek ui jest połączony krawędzią z wierzchołkiem w tak, że tworzą one razem podgraf przypominający gwiazdę o n+1 wierzchołkach. Dodatkowo, dla każdej krawędzi vivj w ramach konstrukcji dodawane są krawędzie uivj oraz viuj.

Dla grafu G o n wierzchołkach i m krawędzich powstaje graf μ(G) o 2n+1 wierzchołkach i 3m+n krawędziach.

Przykłady Ilustracja przedstawia konstrukcję grafu Mycielskiego zastosowana dla grafu cyklicznego o 5 wierzchołkach. Powstały graf jest nazywany grafem Grötzscha, ma 11 wierzchołków i 20 krawędzi. Jest to najmniejszy graf w którym największa klika ma rozmiar ≤ 2 o liczbie chromatycznej równej 4.

Iterowane grafy Mycielskiego thumb|360px|Grafy Mycielskiego M1, M2 oraz M3 Stosując konstrukcję Mycielskiego, zaczynając od dwukliki K2 można otrzymać sekwencję Mi = μ(Mi−1), nazywaną czasami grafami Mycielskiego. Kilka pierwszych grafów otrzymanych w ten sposób to: graf M1 = K2 z dwoma wierzchołkami połączonymi krawędzią, graf M2 = C5 oraz M3 – graf Grötzscha z 11 wierzchołkami i 20 krawędziami.

Ogólnie, dla grafu Mi należącego do sekwencji nie istnieje klika o rozmiarze > 2, usunięcie mniej niż i wierzchołków nie powoduje utraty spójności grafu, jest on także i+1-kolorowalny. Mi ma 3 × 2i−1 − 1 wierzchołków (sekwencja A083329 w OEIS). Ilość krawędzi dla grafu Mi przy początkowych wartościach i to: 1, 5, 20, 71, 236, 755, 2360, 7271, 22196, 67355, ... (sekwencja A122695 w OEIS)

Własności thumb|150px|Cykl Hamiltona w grafie M3 (graf Grötzscha) Jeśli graf G ma liczbę chromatyczną równą k, to μ(G) ma liczbę chromatyczną równą k+1 (Mycielski 1955).

Dowód Niech  c : μ(G) → C  będzie minimalnym pokolorowaniem, tzn. obraz c(μ(G)) ma moc równą liczbie chromatycznej grafu Mycielskiego μ(G), czyli

| c(μ(G)) |  =  χ(μ(G)).

(zgodnie z definicją pokolorowania grafu, wierzchołki sąsiednie różnią się kolorem).

Pokażmy, że χ(μ(G)) > χ(G):  w przeciwnym wypadku wszystkie kolory c(ui) (0 ≤ i < n), a także kolor c(w), występują wśród kolorów c(vi) (0 ≤ i < n). Ale kolor c(w) nie występuje wśród c(ui). Zdefiniujmy pokolorowanie d grafu  G  jak następuje:

d(vi)  :=  c(vi)     gdy c(vi) ≠ c(w) d(vi)  :=  c(ui)     gdy c(vi) = c(w)

dla  i = 0, ..., n−1. Pokolorowanie d, grafu G, użyło nie więcej niż χ(G) − 1 kolorów – sprzeczność. Udowodniliśmy więc, że

χ(μ(G))  >  χ(G).

Niech teraz  d : G → D  będzie minimalnym pokolorowaniem grafu G. Zdefiniujmy:

c(vi)  :=  d(vi) c(ui)  :=  d(vi)

dla i = 0, ..., n−1. Ponadto niech kolor c(w) nie należy do D. Wtedy c jest pokolorowaniem grafu Mycielskiego, które użyło tylko jednego koloru spoza D. Udowodniliśmy więc, że

χ(μ(G))  ≤  χ(G) + 1,

co w połączeniu z poprzednią nierównością (odwrotną) kończy dowód.

Jeśli największa klika w grafie G  ma rozmiar ≤ 2, to taką samą własność ma graf μ(G). Co więcej, wszystkie kliki rozmiaru > 2 w grafie μ(G) są zawarte w grafie G, o ile takie kliki w ogóle istnieją (Mycielski 1955).

Jeśli graf G posiada cykl Hamiltona, to graf μ(G) także go posiada (Fisher 1998).

Bibliografia Na podstawie angielskiej Wikipedii: Chvátal, Vašek (1974). "The minimality of the Mycielski graph". Graphs and combinatorics (Proc. Capital Conf., George Washington Univ., Washington, D.C., 1973), 243–246, Berlin: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 406, Springer-Verlag.

Došlić, Tomislav (2005). "Mycielskians and matchings". Discuss. Math. Graph Theory 25 (3): 261–266. Fisher, David C.; McKenna, Patricia A.; Boyer, Elizabeth D. (1998). "Hamiltonicity, diameter, domination, packing, and biclique partitions of Mycielski's graphs". Discrete Applied Mathematics 84 (1–3): 93–105.

Lin, Wensong; Wu, Jianzhuan; Lam, Peter Che Bor; Gu, Guohua (2006). "Several parameters of generalized Mycielskians". Discrete Applied Mathematics 154 (8): 1173–1182.

Mycielski, J. (1955). "Sur le coloriage des graphes". Colloq. Math. 3: 161–162.

Linki zewnętrzne

Mycielskiego