mały|250px|Różne punkty krytyczne funkcji, w których są lokalne ekstrema funkcji – w punkcie c pochodna zeruje się, a styczna jest pozioma; w punkcie d pochodna (i styczna) nie istnieją. mały|250px|Dwie funkcje z punktem krytycznym w x=0, który jest punktem przegięcia: a). dla funkcji pochodna zeruje się w x=0, a styczna jest pozioma. b). dla funkcji pochodna nie istnieje w x=0, bo styczna jest pionowa.

Punkt krytyczny – nazwa kilku odrębnych pojęć w różnych działach matematyki; występuje w teorii funkcji jednej zmiennej rzeczywistej i wielu zmiennych rzeczywistych; w teorii funkcji zmiennych zespolonych, w teorii równań różniczkowych, w teorii pola. Pojęcie punktu krytycznego pojawiło się w matematyce najpóźniej w 1871 roku, w dziele Edwarda Olneya A General Geometry and Calculus Jeff Miller, Critical point [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C) , MacTutor History of Mathematics archive, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-01-23]..

Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej Dla funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej punkt krytyczny to punkt w dziedzinie funkcji, w którym

pochodna funkcji jest równa 0 (znany również jako punkt stacjonarny) lub w którym funkcja nie jest różniczkowalna Pochodna funkcji jednej zmiennej [w:] Analiza matematyczna 1, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2022-01-23]..

Dla funkcji jednej zmiennej w punktach krytycznych mogą być ekstrema oraz przegięcia (por. rysunki obok). Wartość funkcji w punkcie krytycznym nazywa się wartością krytyczną.

Uwaga: W tekstach matematycznych mówiąc o punktach krytycznych czasem zawęża się rozważania tylko do punktów, w których istnieje pierwsza pochodna. Jest tak, gdy już na wstępie zakłada się, iż funkcje spełniają odpowiednio wysokie wymagania dotyczące ich ciągłości i różniczkowalności.

Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych rzeczywistych Dla funkcji rzeczywistych wielu zmiennych rzeczywistych punkt krytyczny to punkt w jej dziedzinie, gdzie

gradient funkcji równa się 0 lub punkt, w którym funkcja nie jest różniczkowalna, tj. niektóre lub wszystkie pochodne cząstkowe funkcji nie mogą być obliczone).

Dla funkcji dwu i większej liczby zmiennych w punktach krytycznych mogą być ekstrema oraz punkty siodłowe.

Funkcje zespolone W przypadku funkcji zmiennych zespolonych, punkt krytyczny to punkt w dziedzinie funkcji, gdzie

pochodna funkcji wynosi zero lub funkcja nie jest holomorficzna.

Funkcje wielowymiarowe. Rozmaitości różniczkowalne Jeżeli mamy odwzorowanie pomiędzy przestrzeniami rzeczywistymi wielowymiarowymi, które jest różniczkowalne, to punktem krytycznym jest punkt, w którym ranga macierzy Jacobiego nie jest maksymalna. Definicja ta rozszerza się również na różniczkowalne odwzorowania między rozmaitościami różniczkowalnymi, gdzie punkty krytyczne to te, w których ranga macierzy Jacobiego maleje. W tym przypadku punkty krytyczne nazywane są również punktami bifurkacji.

Równania różniczkowe Punkt krytyczny - to punkt przestrzeni fazowej, który jest jednocześnie trajektorią układu dynamicznego.

Teoria pola Punkty krytyczne są punktami, w których pole wektorowe zeruje się.

Zobacz też ekstremum funkcji punkt stacjonarny punkt siodłowy

Przypisy

Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Równania różniczkowe Kategoria:Relacje między argumentem funkcji a funkcją