Podgrupa charakterystyczna – podgrupa niezmiennicza ze względu na działanie automorfizmów Characteristic subgroup , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06]..
Definicja formalna Niech będzie grupą. Podgrupę nazywa się charakterystyczną, jeżeli dla każdego automorfizmu (bijektywnego homomorfizmu) grupy i dla każdego elementu zachodzi lub równoważnie
Ta właściwość podgrupy grupy oznaczana jest symbolem lub
Uwagi Podgrupy charakterystyczne są w szczególności niezmiennicze ze względu na automorfizmy wewnętrzne, zatem są one podgrupami normalnymi. Sformułowanie odwrotne nie jest prawdziwe, w czwórkowej grupie Kleina każda podgrupa jest normalna, ale wszystkie sześć permutacji trzech nieneutralnych elementów jest automorfizmami, stąd trzy podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne. Jednakże jeśli i grupa nie zawiera innych podgrup o tym samym rzędzie, to musi być charakterystyczna, ponieważ automorfizmy zachowują rząd.
Podgrupa ściśle charakterystyczna Podgrupa nazwana zostanie ściśle charakterystyczną w jeśli jest niezmiennicza ze względu na suriektywne endomorfizmy. Ponieważ w grupach skończonych suriektywność implikuje iniektywność, to pojęcie jest wówczas równoważne pojęciu podgrupy charakterystycznej, jednak w grupach nieskończonych suriektywny endomorfizm nie musi być automorfizmem.
Podgrupa całkowicie charakterystyczna Jeżeli jest podgrupą niezmienniczą ze względu na dowolny endomorfizm grupy to nazywa się ją podgrupą całkowicie charakterystyczną (CC-podgupą, również całkowicie niezmienniczą albo w pełni charakterystyczną bądź w pełni niezmienniczą). Innymi słowy, jeżeli jest dowolnym homomorfizmem, to
W każdej grupie zawierają się dwie całkowicie charakterystyczne grupy niewłaściwe: cała grupa oraz podgrupa trywialna. Każda całkowicie charakterystyczna grupa jest grupą ściśle charakterystyczną, a więc podgrupą charakterystyczną. Komutant grupy zawsze jest grupą całkowicie charakterystyczną. Ogólniej, każda podgrupa werbalna jest zawsze całkowicie charakterystyczna. Dla dowolnej zredukowanej grupy wolnej, a w szczególności dla każdej grupy wolnej, zachodzi też twierdzenie odwrotne – każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest werbalna.
Grupa elementarna
Grupę, której jedynymi podgrupami normalnymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą prostą. Analogicznie grupę, której jedynymi podgrupami charakterystycznymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą elementarną bądź grupą charakterystycznie prostą.
Własności Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna. Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest ściśle charakterystyczna, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum jest zawsze podgrupą ściśle charakterystyczną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną. Jeśli jest grupą skończoną, jest jej podgrupą normalną oraz to
Przechodniość Własności charakterystyczności lub całkowitej charakterystyczności podgrupy są przechodnie. Otóż jeśli jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą a (całkowicie) charakterystyczną podgrupą to jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą
Co więcej, choć nie jest prawdą, że każda podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy jest normalna w tej grupie, to jest prawdą, iż każda charakterystyczna podgrupa podgrupy normalnej jest w niej normalna, czyli: w szczególności zaś
Podobnie nie jest prawdą, iż każda ściśle charakterystyczna podgrupa podgrupy ściśle charakterystycznej danej grupy jest w niej ściśle charakterystyczna, to jest prawdą, że każda całkowicie charakterystyczna podgrupa ściśle charakterystycznej jest ściśle charakterystyczna w całej grupie.
Relacja między tymi własnościami może być zobrazowana za pomocą następującego diagramu: podgrupa ← podgrupa normalna ← podgrupa charakterystyczna ← podgrupa ściśle charakterystyczna ← podgrupa całkowicie charakterystyczna.
Przykłady Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna. Jeżeli jest grupą, wówczas grupy generowane odpowiednio przez zbiory: oraz są podgrupami charakterystycznymi grupy Niech dana będzie grupa (rzędu 12 będącą produktem prostym grupy symetrycznej rzędu 6 i grupy cyklicznej rzędu 2). Centrum jest jej drugi czynnik, Pierwszy czynnik zawiera podgrupę izomorficzną z np. Niech będzie homomorfizmem we wskazaną podgrupę. Wówczas złożenie rzutu na jej drugi współczynnik z oraz włożeniem w (jako pierwszy współczynnik) daje endomorfizm w którym obraz centrum nie zawiera się w centrum, a zatem centrum nie jest całkowicie charakterystyczną podgrupą grupy Komutant dowolnej grupy jest jej podgrupą całkowicie charakterystyczną, gdyż jest on podgrupą werbalną (generowaną przez wszystkie wyrażenia określonej postaci – komutatory). Dla każdego automorfizmu i dla każdego zachodzi Część torsyjna (największa podgrupa torsyjna) grupy abelowej jest podgrupą całkowicie charakterystyczną. Przykładami grup elementarnych są grupy addytywne przestrzeni wektorowych nad ciałami skończonymi.
Przekształcenia grupy auto- i endomorfizmów Jeżeli to każdy automorfizm indukuje automorfizm na grupie ilorazowej istnieje stąd przekształcenie
Jeżeli jest podgrupą całkowicie charakterystyczną w to analogicznie: każdy endomorfizm indukuje endomorfizm który daje przekształcenie
Zobacz też automorfizm grupa grupa charakterystycznie prosta podgrupa normalna
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Podgrupy