Kryterium całkowe (także kryterium całkowe Maclaurina-Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich oparte na idei porównywania danego szeregu z całką. Wczesna forma tego kryterium została odkryta w Indiach przez Madhawę w XIV wieku i jego następców ze szkoły w Kerali. W Europie kryterium zostało później ponownie odkryte przez Maclaurina w 1742C. Maclaurin, Treatise of fluxions, 1. Edinburgh, 1742. i Cauchy’egoA.L. Cauchy, Sur la convergence des séries, Oeuvres complètes Ser. 2, 7, Gauthier-Villars (1889), s. 267–279..
Kryterium Niech będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto dla każdego Wówczas szereg
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa Integral test , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].:
Interpretacja geometryczna thumb|350px|Wykres funkcji na przedziale Całka wyraża pole powierzchni pod krzywą (na ilustracji obok zaznaczonej na czarno) na przedziale Wyrazy szeregu podają wielkość rzędnych wykresu w punktach a więc wyrażają pola prostokątów o podstawie i wysokościach (na ilustracji obok zaznaczone na zielono). Suma szeregu jest zatem sumą pól rzeczonych prostokątów. Biorąc to pod uwagę, kryterium całkowe można zinterpretować następująco: jeżeli pole pod wykresem jest skończone, to tym bardziej skończona jest suma pól (równa sumie szeregu ). Dokonując przesunięcia każdego z prostokątów o w prawo, wykres na przedziale znajdzie się zawarty w figurze złożonej ze wspomnianych przesunięć. W szczególności, jeżeli pole pod wykresem jest nieskończone, to nieskończone musi być także pole rozważanej figury, a więc i tym samym suma szeregu .
Dowód Ponieważ funkcja jest malejąca zachodzą nierówności dla dla
Oznacza to, że
a stąd
W przypadku gdy całka jest zbieżna, ciąg całek częściowych
jest ograniczony, co pociąga ograniczoność ciągu sum częściowych
szeregu . Ciąg ten jest także niemalejący (z założenia, że wyrazy szeregu są nieujemne), więc jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest on zbieżny, a tym samym szereg jest zbieżny.
W przypadku, gdy szereg jest zbieżny, wyżej zdefiniowany ciąg całek częściowych jest również ograniczony, a więc zbieżny (do całki ) jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych.
Przykłady zastosowania Szereg harmoniczny rzędu
jest zbieżny dla Istotnie, funkcja jest dodatnia i malejąca na przedziale więc stosuje się kryterium całkowe:
gdy czyli gdy .
Szereg
jest zbieżny dla i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Istotnie, oznaczając
mamy
a stąd całka niewłaściwa istnieje gdy oraz nie istnieje w przeciwnym przypadku.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-15].
Kategoria:Twierdzenia o całkach z funkcji rzeczywistych całkowe