Zbiór wszędzie gęsty lub zbiór w sobie gęsty – zbiór, którego każdy punkt jest jego punktem skupienia.
W przestrzeni metrycznej jest to równoważne stwierdzeniu, że każdy punkt jest granicą ciągu punktów tej przestrzeni różnych od niego.
Przykłady: zbiór liczb rzeczywistych jest wszędzie gęsty zbiór liczb wymiernych jest wszędzie gęsty zbiór liczb całkowitych nie jest wszędzie gęsty zbiór {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} nie jest wszędzie gęsty zbiór (0, 1)∪{2} nie jest wszędzie gęsty każdy zbiór otwarty w przestrzeni euklidesowej jest wszędzie gęsty.
Jeżeli przez oznaczyć pochodną zbioru to zbiór jest w sobie gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy:
W przestrzeni T1 domknięcie zbioru wszędzie gęstego jest również zbiorem wszędzie gęstym.
Zbiór domknięty i jednocześnie wszędzie gęsty nazywamy zbiorem doskonałym.
Przykładem zbioru doskonałego jest domknięcie dowolnego zbioru otwartego przestrzeni euklidesowej. Zbiorem doskonałym jest również zbiór Cantora.
Zobacz też zbiór doskonały zbiór gęsty zbiór nigdziegęsty zbiór pierwszej kategorii
Kategoria:Topologiczne własności zbiorów