mały|Oś liczbowa ukazująca niektóre liczby całkowite mały|Standardowy symbol zbioru liczb całkowitych: ℤ
Liczby całkowite – zbiór obejmujący: liczby naturalne z zerem ; liczby przeciwne do nich: .
Jest to uogólnienie liczb naturalnych umożliwiające odjęcie każdej liczby od innej.
Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.
Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem , od niemieckiego słowa Zahl – oznaczającego, polskie: liczba . W wielu polskich szkołach podstawowych, a także szkołach średnich, stosowano do niedawna, dosyć powszechnie (za sprawą autorskiego pomysłu twórców wielu podręczników do nauki matematyki w tych szkołach) symbol , na oznaczenie zbioru liczb całkowitych (niniejszym artykułem, omawianych) – wywodząc to oznaczenie od inicjału nazwy polskiej (liczby całkowite). Obecnie, polskie Ministerstwo Edukacji Narodowej – w związku z zauważalnym upowszechnieniem się tej praktyki, odbiegającej od ogólnoświatowej praktyki matematycznej – zaleciło używanie (na oznaczenie liczb całkowitych) wyłącznie ogólnoświatowego oznaczenia Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 stycznia 2018 r. w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia (), s. 293., nawet pomimo jego możliwej początkowej nieintuicyjności dla uczniów.
Zalecenie to zostało wprowadzone także z faktem, że symbol litery C (a dokładniej: symbol tak zwanego kreślonego C, czyli: symbol ), także funkcjonuje już powszechnie w ogólnoświatowych podręcznikach do matematyki, na oznaczenie innego zbioru liczbowego, mianowicie: zbioru liczb zespolonych, stanowiącego pewne rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych ( stało się symbolem do oznaczania tego konkretnego zbioru, przez wzgląd na angielską nazwę liczb zespolonych: complex numbers).
Definicja formalna Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru relacji równoważności
Intuicyjnie reprezentuje różnicę
Niech oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze definiuje się jako:
Liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi; liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.
Własności Algebraiczne W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby całkowite tworzą pierścień całkowity, tj. pierścień: przemienny; z jedynką; bez dzielników zera.
Zerem tego pierścienia jest elementem przeciwnym do jest element Jedynką jest
Podzbiór elementów postaci jest izomorficzny z
Ponieważ oraz elementem przeciwnym do więc
Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.
Liczność Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:
Zobacz też
aksjomaty i konstrukcje liczb liczby całkowite (zapis komputerowy) równanie diofantyczne
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne Tomasz Miller, Liczby całkowite i wymierne | Zacznijmy od zera #1, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński (CKBI UJ), kanał „Copernicus” na YouTube, 5 stycznia 2021 [dostęp 2023-11-26]. [dostęp 2024-02-02]. Integer , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
C Kategoria:Algebraiczna teoria liczb Kategoria:Rodzaje pierścieni Kategoria:Teoria grup abelowych Kategoria:Przykłady grup